[几何] 到四定点的距离成比例

hbghlyj

平面上，到四定点的距离成比例的点的轨迹包含圆弧，则这四点须满足怎样的条件？

huing

到两定点的距离之比为常数的就是圆了，到四个定点的距离成比例，必有冗余约束，否则只是两个点。

kuing

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题目的意思应该是 `PA:PB=PC:PD`，但该比值是可以变的，所以是一对变动的阿氏圆的交点的轨迹。

kuing

但是，按照这样理解，轨迹也不是圆弧啊，其实不用扯阿氏圆，直接就
\[\frac{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2}{(x-x_2)^2+(y-y_2)^2}=\frac{(x-x_3)^2+(y-y_3)^2}{(x-x_4)^2+(y-y_4)^2},\]
去分母之后，虽然 `x^4` 和 `y^4` 消去了，但 `x^3` 和 `y^3` 还是在的，那轨迹就应该是三次曲线，所以不会是圆弧。

kuing

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具体表达式：
`2 x^3 (x_1 - x_2 - x_3 + x_4)`
`{}+ 2 y^3 (y_1 - y_2 - y_3 + y_4)`
`{}+ 2 x^2 y (y_1 - y_2 - y_3 + y_4)`
`{}+ 2 x y^2 (x_1 - x_2 - x_3 + x_4)`
`{}+ x^2 (-x_1^2 + x_2^2 + 4 x_2 x_3 + x_3^2 - 4 x_1 x_4 - x_4^2 - y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 - y_4^2)`
`{}+ y^2 (-x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - x_4^2 - y_1^2 + y_2^2 + 4 y_2 y_3 + y_3^2 - 4 y_1 y_4 - y_4^2)`
`{}- 4 x y (x_4 y_1 - x_3 y_2 - x_2 y_3 + x_1 y_4)`
`{}- 2 x (x_2^2 x_3 + x_2 x_3^2 - x_1^2 x_4 - x_1 x_4^2 - x_4 y_1^2 + x_3 y_2^2 + x_2 y_3^2 - x_1 y_4^2)`
`{}+ 2 y (x_4^2 y_1 - x_3^2 y_2 - x_2^2 y_3 - y_2^2 y_3 - y_2 y_3^2 + x_1^2 y_4 + y_1^2 y_4 + y_1 y_4^2)`
`{}+ x_2^2 x_3^2 - x_1^2 x_4^2 - x_4^2 y_1^2 + x_3^2 y_2^2 + x_2^2 y_3^2 + y_2^2 y_3^2 - x_1^2 y_4^2 - y_1^2 y_4^2 = 0.`

kuing

哦，原来题目改了，楼上的我也看不懂，算了，弃坑……

hbghlyj

更多“轨迹是圆周”问题见http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=6102

kuing

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不是随便改题，题目跟原先的意思其实都是一样的，我把它改得简练一些：
对于四定点A,B,C,D， ...
hbghlyj 发表于 2019-8-21 23:14

在我初看本帖直至给出 5# 的一般式之前，你 1# 的题目是：
证明到四定点距离成比例的轨迹是圆。
这跟之后修改的题意能一样吗？？？