免費論壇 繁體 | 簡體
Sclub交友聊天~加入聊天室當版主
分享
返回列表 发帖

[不等式] 最值互嵌

咋弄?

000000000000.jpg
2019-5-4 19:55


咋做啊 帮帮忙吧 大神们.
分享到: QQ空间QQ空间 腾讯微博腾讯微博 腾讯朋友腾讯朋友

这题很容易中坑啊
因为一眼看出三式之和为 1,所以如果只求快,懒得验取等的话,就很容易会以为结果是 1/3。

我也暂时没什么一步到位的解法,只有分类。

首先将 `M` 写成
\[M=\max\left\{ xy,(1-x)(1-y),\frac12-2\left( \frac12-x \right)\left( \frac12-y \right) \right\},\]可以看出,将 `(x,y)` 换成 `(1-x,1-y)` 是不改变 `M` 的,于是只需证明 `x+y\geqslant1` 的情形即可(因为该置换使 `x+y<1` 变成 `x+y>1`),此时中间那项已多余,即 `M=\max\{xy,x+y-2xy\}`,然后分类讨论。

(1)当 `xy\geqslant x+y-2xy`,则 `3xy\geqslant x+y\geqslant2\sqrt{xy}`,故 `M=xy\geqslant4/9`;

(2)当 `xy<x+y-2xy`,由 `x+y\geqslant1` 且 `x\leqslant y` 知 `y\geqslant1/2`,故 `x<y/(3y-1)`,那么
\[M=(1-2y)x+y\geqslant(1-2y)\frac y{3y-1}+y=\frac19\left( 3y-1+\frac1{3y-1}+2 \right)\geqslant\frac49.\]
综上得 `M\geqslant4/9`,当 `x=y=2/3` 时取等。

TOP

很容易得错误答案。

TOP

返回列表 回复 发帖