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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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初等数学讨论
» 一道条件是$xy+yz+zx=1$的不等式
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郝酒
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发表于 2019-5-4 10:59
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[不等式]
一道条件是$xy+yz+zx=1$的不等式
$x,y,z\in R^+$,$xy+yz+zx=1$.
证明: $\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{y^2+z^2}+\frac{1}{z^2+x^2}+\frac{1}{x^2+y^2+z^2}\geq 3$
检索了一下,论坛里又没有现成的。
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kuing
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发表于 2019-5-4 14:47
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只看该作者
为了降次,考虑到 0, 1, 1 取等,于是大胆尝试弱化条件。
证明:因为 `x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\leqslant(xy+yz+zx)^2=1`,于是,作换元 `x^2=a` 等后,只需证明:
当 `a`, `b`, `c\geqslant0`, `ab+bc+ca\leqslant1` 时有
\[\frac1{a+b}+\frac1{b+c}+\frac1{c+a}+\frac1{a+b+c}\geqslant3,\]
显然地,若 `ab+bc+ca<1`,则可增大变量使 `ab+bc+ca=1`,而原不等式左边关于变量均递减,由此可见,只需证明 `ab+bc+ca=1` 的情况即可。
此时,令 `p=a+b+c`, `r=abc`,则原不等式整理为
\[\frac{p^2+1}{p-r}+\frac1p\geqslant3.\]
(1)当 `p\geqslant2` 时,有
\[\frac{p^2+1}{p-r}+\frac1p-3\geqslant\frac{p^2+1}p+\frac1p-3=\frac{(p-2)(p-1)}p\geqslant0;\]
(2)当 `p<2` 时,由 \schur 不等式有 `r\geqslant(4p-p^3)/9`,所以
\[\frac{p^2+1}{p-r}+\frac1p-3\geqslant\frac{p^2+1}{p-\frac{4p-p^3}9}+\frac1p-3=\frac{(2-p)(3p^2-4p+7)}{p(p^2+5)}>0.\]
综上所述,原不等式得证。
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数学的书蠹
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发表于 2019-6-16 21:40
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