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[不等式] 几个不等式

本帖最后由 力工 于 2019-5-2 14:18 编辑

下面的不等式,应该是大神们经常见到的,请挥挥衣袖指点下。
(1)已知实数$x,y,z$满足$x^2+y^2+z^2=1$,求$x^3+y^3+z^3-3xyz$的最大值.
(2)已知$a>b>c,a+b=1-c,ab=c(c-1)$,求$c$的范围.
大神问了“怎么才2题”,所以再加一个题
(3)已知$a,b,c$均在区间$[0,1]$上取值,求$a^2b+2b^2c-3c^2a$的最大值。
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回复 1# 力工
第二题构造二次方程有解,不知有没有更好的。

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不是说“几个”吗,怎么就两个……

(2)无需构造啊,直接 `(1-c)^2=(a+b)^2>4ab=4c(c-1)` 解得 `-1/3<c<1`。
注意还有 `a>b>c` 这一条件,还需要进一步判断:
如果 `c<0`,则 `a+b>0`, `ab>0`,从而 `a`, `b>0`,所以肯定符合;
如果 `c\geqslant0`,则 `ab\leqslant0`,肯定不符合。
所以 `-1/3<c<0`。

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回复 3# kuing

k神高!本来想多发几个的,可是觉得让大家费神。

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回复 1# 力工


1、
\[x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)=(x+y+z)(1-xy-yz-xz)\]  
如果令$x+y+z=a$,这个会变成
\[(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)=a(1-\frac{a^2-1}{2})\]
在$x^2+y^2+z^2=1$的限制下,很容易知道$-\sqrt{3}\le a\le \sqrt{3}$,于是可以求$a(1-\frac{a^2-1}{2})$在$[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$上最大值,是$a=1$时取到

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(1)记 `p=x+y+z`, `q=xy+yz+zx`,则 `p^2\geqslant3q`,条件化为 `1=x^2+y^2+z^2=p^2-2q` 以及 `x^3+y^3+z^3-3xyz=p(p^2-3q)`,而
\[p^2(p^2-3q)^2-(p^2-2q)^3 = -q^2(3p^2-8q)\leqslant0,\]所以 \[-1\leqslant x^3+y^3+z^3-3xyz\leqslant1,\]当 `q=0`, `p=-1` 时左边取等,当 `q=0`, `p=1` 时右边取等。

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(3)由于原式关于 `a`, `b` 都是开口向上的二次函数或一次函数,所以只需考虑 `a`, `b\in\{0,1\}` 即可,也就是只需分 4 类讨论,具体就不写了。

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本帖最后由 力工 于 2019-5-2 14:42 编辑

回复 7# kuing
(3)猜想$0,1,1$时最大,直接放缩,$a^b+2b^2c-3c^2a$不可行?
$a^2b+2b^2c-3c^2a\leqslant ab+2b^2c$这个放得尺度太大。$a^2b+2b^2c-3c^2a\leqslant a(b-3c^2)+2b^2c$.

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回复 8# 力工

不知道,懒得想,理论上应该是可行的

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