[几何] 请教：四面体截面面积最大值问题

敬畏数学

在三棱锥A-BCD中，$ AB=CD=2 $，$ AC=BD=\sqrt{3} $，$ AD=BC=\sqrt{5} $，$ E，F $分别为$ AD，BC $的中点，若用一个与直线$ EF $垂直，且与三棱锥每个面都相交的平面$ \alpha  $去截该三棱锥，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为_____。$ A、\sqrt{6} $；$ B、\frac{\sqrt{6}}{2}$；$ C、\frac{5}{2}$；$ D、\frac{5}{4}$
谢谢！

力工

回复 1# 敬畏数学

这很简单啊。此截面为矩形，用相似就可以得到面积为$5(1-x)x$

敬畏数学

回复 2# 力工 不是
不是这个答案啊。

敬畏数学

答案是选B。但没有想法，请教高手。。。

色k

可不可以先配一个图？

乌贼

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2019-4-29 05:41

易证$ EF\perp AD,EF\perp BC $，过$ F $作$ D_1A_1\px DA $且$ D_1A_1=DA $，连接$ BD_1CA_1 $，易知\[ AF=\dfrac{3}{2}\\EF=1 \]有\[ A_1B=CD_1=\sqrt{3}\\A_1C=BD_1=\sqrt{2}\\CD_1\perp BD_1\\CA_1\perp BA_1 \]
$ PQMN $为截面，有\[ PQ\px AD\px MN\\MQ\px BC\px NP \]即$ PQMN $为平行四边形。在矩形$ A_1CD_1B $中令\[ CP_1=x \]则\[ CQ_1=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}x \\S_{P_1Q_1M_1N_1}=\sqrt{6}-\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}x^2-(\sqrt{2}-x)(\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}x)=\dfrac{\sqrt{6}}{2}-\sqrt{6}(x-\dfrac{\sqrt{2}}{2})^2\geqslant \dfrac{\sqrt{6}}{2}\]

敬畏数学

回复 6# 乌贼
太精彩了！图画得如此漂亮！大牛！！！
辛苦辛苦。。。

敬畏数学

回复 2# 力工
截面不可能为矩形（等号不可以）。不过解答也不错。谢谢。

敬畏数学

回复 6# 乌贼
借助您的优美图，发现：$MN+MQ=  \sqrt{5}$，且$sin∠NMQ= \frac{2\sqrt{6}}{5} $均为定值。