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[几何] 圆锥内棱长最大的四面体

2019年广州二模理科第16题:

有一个底面半径为$R$,轴截面为正三角形的圆锥纸盒,在该纸盒内放一个棱长均为$a$的四面体,并且四面体在纸盒内可以任意转动,则$a$的最大值为______.

这题意是不是就是内切球哦?如果是,(或者我先按内切球,再求内切球内接正四体),我算的结果是 $\frac {2\sqrt 2}3 R$
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按题目的描述来说不一定是内切球,事关并没有说转动时中心要固定,所以可能可以比内切球的要更小一些。

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为了更容易理解我的意思,我举个平面上的简单例子:
在边长为 `R` 的正方形内放一个边长为 `a` 的正三角形,且它在正方形内可以任意转动,那么 `a` 的最大值是 `R`(而不是内切圆啥的)。

动图演示如下:
正方形内正三角形任意转动.gif
2019-4-25 13:25


所以 1# 的题目很可能不是内切球,事关正四面体中心与各顶点那些连线的夹角好像不是 120 度吧?……
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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回复 3# kuing
以前一直以为是一楼的解答,但也一直疑惑,看到高手的解答,也觉得以前想法欠妥。

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回复 3# kuing

这图霸气。

翻了一下答案,我算的结果是正确的,但细节肯定是有问题的。

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回复 5# isee

命题者认为的应该和你一样,中学考题哪会考虑那么多。

可惜,让我去证明存在比 `\frac{2\sqrt2}3R` 更大的 `a` 也能任意转动,这也十分困难,毕竟空间中的转动比平面难太多了……

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这里有人就这题写了些东西:https://zhuanlan.zhihu.com/p/63894221

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回复 7# lemondian

果然证起来很麻烦,我都不想进坑。有空再慢慢看看。

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回复 8# 色k

果然“有空再看”是不可取的,链接404了,唉……

看来真得抽个时间存档一下最近在知乎撸的题,以防404……

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回复 9# kuing

回想起这帖就是因为昨晚在知乎看到类似问题:
https://www.zhihu.com/question/446382533

刚才我又做了一个动图,与 3# 相反,是正三角形内的正方形:
dfbhdfjndf.gif
2021-2-26 12:04

边长之比为 `\dfrac{3\sqrt2-\sqrt6}4\approx0.448`。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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又来了,据说是今天的考题:
微信图片_20220119145020.jpg
2022-1-19 14:53

(右边没拍到的字估计是“半”,也就是轴截面正三角形)
这次是圆锥内的正方体,和 1# 的应该一样。

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本帖最后由 战巡 于 2022-1-19 21:37 编辑

回复 11# kuing


这个问题我也看到了

作为正方体,在圆锥里面水平旋转是完全没问题的,不用考虑
要垂直旋转,需要正方体最大的一个截面,要能在圆锥的垂直截面里面旋转

也就是求一个能在给定的正三角形里面旋转,边长比为$\sqrt{2}:1$的最大的长方体

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