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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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» 圆锥内棱长最大的四面体
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发表于 2019-4-24 19:54
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[几何]
圆锥内棱长最大的四面体
2019年广州二模理科第16题:
有一个底面半径为$R$,轴截面为正三角形的圆锥纸盒,在该纸盒内放一个棱长均为$a$的四面体,并且四面体在纸盒内可以任意转动,则$a$的最大值为______.
这题意是不是就是内切球哦?如果是,(或者我先按内切球,再求内切球内接正四体),我算的结果是 $\frac {2\sqrt 2}3 R$
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发表于 2019-4-24 21:17
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按题目的描述来说不一定是内切球,事关并没有说转动时中心要固定,所以可能可以比内切球的要更小一些。
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kuing
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发表于 2019-4-25 01:58
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为了更容易理解我的意思,我举个平面上的简单例子:
在边长为 `R` 的正方形内放一个边长为 `a` 的正三角形,且它在正方形内可以任意转动,那么 `a` 的最大值是 `R`(而不是内切圆啥的)。
动图演示如下:
2019-4-25 13:25
所以 1# 的题目很可能不是内切球,事关正四面体中心与各顶点那些连线的夹角好像不是 120 度吧?……
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
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敬畏数学
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发表于 2019-4-25 09:07
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kuing
以前一直以为是一楼的解答,但也一直疑惑,看到高手的解答,也觉得以前想法欠妥。
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isee
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发表于 2019-4-25 17:55
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kuing
这图霸气。
翻了一下答案,我算的结果是正确的,但细节肯定是有问题的。
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kuing
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发表于 2019-4-25 18:23
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isee
命题者认为的应该和你一样,中学考题哪会考虑那么多。
可惜,让我去证明存在比 `\frac{2\sqrt2}3R` 更大的 `a` 也能任意转动,这也十分困难,毕竟空间中的转动比平面难太多了……
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lemondian
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发表于 2019-4-28 17:27
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这里有人就这题写了些东西:
https://zhuanlan.zhihu.com/p/63894221
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色k
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发表于 2019-4-28 17:30
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lemondian
果然证起来很麻烦,我都不想进坑。有空再慢慢看看。
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kuing
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发表于 2021-2-25 23:36
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8#
色k
果然“有空再看”是不可取的,链接404了,唉……
看来真得抽个时间存档一下最近在知乎撸的题,以防404……
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kuing
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发表于 2021-2-26 12:04
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9#
kuing
回想起这帖就是因为昨晚在知乎看到类似问题:
https://www.zhihu.com/question/446382533
刚才我又做了一个动图,与 3# 相反,是正三角形内的正方形:
2021-2-26 12:04
边长之比为 `\dfrac{3\sqrt2-\sqrt6}4\approx0.448`。
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kuing
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发表于 2022-1-19 14:54
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又来了,据说是今天的考题:
2022-1-19 14:53
(右边没拍到的字估计是“半”,也就是轴截面正三角形)
这次是圆锥内的正方体,和 1# 的应该一样。
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战巡
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发表于 2022-1-19 21:35
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本帖最后由 战巡 于 2022-1-19 21:37 编辑
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kuing
这个问题我也看到了
作为正方体,在圆锥里面水平旋转是完全没问题的,不用考虑
要垂直旋转,需要正方体最大的一个截面,要能在圆锥的垂直截面里面旋转
也就是求一个能在给定的正三角形里面旋转,边长比为$\sqrt{2}:1$的最大的长方体
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