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[函数] 含绝对值三次函数问题,求简单方法

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2019-4-19 17:41
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你码一下,我给解答。

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$ a=-3,b=0 $,最大值的最小值为2。套路题,多刷就行。

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本帖最后由 走走看看 于 2019-4-21 09:41 编辑

|f(-1)|=|-1-a+b|≤M

|f(0)|=|b|≤M

|f(1)|=|1+a+b|≤M

|f(2)|=|8+2a+b|≤M

则有 7M≥4|f(-1)|+2|f(1)|+|f(2)|≥|6+7b|≥6-7|b|≥6-7M

所以$M≥\frac{3}{7}$

请问错在哪里?

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回复 4# 走走看看

到底是$\frac{3}{7}还是2,搞不清楚。$

很像是2,因为2长得好看,比较帅。

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本帖最后由 isee 于 2019-4-21 18:06 编辑

回复 5# 走走看看

最小值是2是没问题的,4#不对,一定是相对等号无法取得。
(我只知道正结果,其实我并不会解这类题,一直不会,只会最笨的方法,去绝对值讨论)

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本帖最后由 isee 于 2019-4-22 00:19 编辑

是这样“伪装”吗?

$$6M\geqslant \abs{f(-1)}+3\abs{f(1)}+2\abs{f(2)}=\abs{-a+b-1}+\abs{-3a-3b-3}+\abs{4a+2b+16}\geqslant 12,$$

如果找出等号的$a,b$的值?三式围成的区域?翻了下,kuing,你以前的帖的,这个具体值搞不定。。

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是这样“伪装”吗?

$$6M\geqslant \abs{f(-1)}+3\abs{f(1)}+2\abs{f(2)}=\abs{-a+b-1}+\abs{-3a-3b-3}+\a ...
isee 发表于 2019-4-22 00:18



哦,明白了,还有6个M亦是"=",最终只有一组$$(a,b)=(-3,0)$$

原来是这么玩儿。。。

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题目:已知函数$f(x)=x^3+ax+b$定义域为$[-1,2]$,记$\abs{f(x)}$的最大值为$M$,则$M$的最小值为______.

此题亦出现在 2019年武汉4月高三理科数学模拟卷中。

果然,事关己才有动力去学新东西,也许是习惯分类画图解决,就思维固化了。

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劝码失败……

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回复 10# kuing


估计楼主不会鸟你,罢了吧,这回儿

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人教群里的题,有位北京的网友也是分参,但是和我的思想不同,我是将直线保留在中间,他是将立方抛物线保留在中间,感觉,他的方式更好些,两平行线一夹就OK了

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回复 12# isee

何不把北京那位网友的东西祭出来,让我们大家看看呢?

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想复杂了,分类讨论了四种情况,后来才发现此题可以转化为“平口单峰函数”,这样的话就可以直接秒了!

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本帖最后由 敬畏数学 于 2019-4-25 10:32 编辑

回复 14# wzyl1860
哈哈,蛮形象的。但不总是单峰或者全平口。此题与”任意$ x∈[-1,1] $,$ f(x)=ax^3-3x+1\geqslant 0 $恒成立,则$ a $的值_____。“有关联吗?

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感觉是在拼凑答案。

没有一个看起来令人信服的标准答案吗?

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本帖最后由 走走看看 于 2019-5-9 11:15 编辑

回复 14# wzyl1860

怎么转化为 平口单峰函数?它本来不是这类函数哦。

到现在还是没弄懂。难道只有把四个式子对应的8种情况画出来,做线性规划,才是正解吗?

|f(x)|最大值的表达式是什么呢?

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\begin{align*}
\abs{f(x)}&=\abs{x^3-3x+(a+3)x+b}
     ,g(x)=x^3-3x为[-1,2]上平口单峰函数
\end{align*}

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本帖最后由 走走看看 于 2019-5-9 17:27 编辑

回复 18# wzyl1860

谢谢!

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