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[函数] 函数单调时参数a的取值范围

本帖最后由 走走看看 于 2019-4-18 22:01 编辑

$已知函数f(x)=(ax+2)e^x-x-2,其中a>-2。$

$(1)当a=0时,求函数f(x)在[-1,0]上的最大值和最小值;$

$(2)若函数f(x)为R上的单调函数,求实数a的取值范围。$

答案是:-2<a≤-1,但不好求。怎么才能好求呢?
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回复 1# 走走看看


    有个视频讲解这道题,用了满黑板的字。令f'(x)=0,找不变号零点,看起来很费事。刚刚我不用那种方法,好像也解出来了。回头发出来,请大家看看是否有错误。

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本帖最后由 走走看看 于 2019-4-19 21:24 编辑

略解如下:

$f'(x)=(ax+a+2)e^x-1$

$f''(x)=(ax+2a+2)e^x$

当0>a>-2时,$x∈(-∞,-2-\frac{2}{a}),$

$$f''(x)>0;$$

$x∈(-2-\frac{2}{a},+∞),$

$$f''(x)<0。$$

∴ f'(x)最大值=f'(x)极大值=$$f'(-2-\frac{2}{a})=-ae^{-2-\frac{2}{a}}-1 $$

此时,令$$g(a)=-ae^{-2-\frac{2}{a}}-1 。$$

为了使f(x)是单调函数,显然$$g(a)≤0$$应恒成立。

$$g'(a)=e^{-2-\frac{2}{a}}·\frac{-a-2}{a}>0$$

∴g(a)单增。又g(-1)=0 ,∴ -2<a≤-1。

当a=0时,$$f(x)=e^x-x-2,$$显然,f(x)非单调函数。

当a>0时,$x∈(-∞,-2-\frac{2}{a}),$
$$f''(x)<0;$$
$x∈(-2-\frac{2}{a},+∞),f''(x)>0。$

f'(x)最小值=f'(x)极小值=$$f'(-2-\frac{2}{a})=-ae^{-2-\frac{2}{a}}-1 $$

令$$g(a)=-ae^{-2-\frac{2}{a}}-1 。$$

为使f(x)是单调函数,g(a)≥0应恒成立。

$$g'(a)=e^{-2-\frac{2}{a}}·\frac{-a-2}{a}<0$$

∴g(a)单减。又g(-1)=0 ,

∴ a>0时,g(a)<0。

不满足 g(a)≥0恒成立的要求。

综上, -2<a≤-1 。

写到这里,觉得如果解答得没有问题,篇幅也了得。

那个视频是 猿辅导  上的 985春季系统班上的 ,不登录是看不到的。

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回复 3# 走走看看


    老兄,公式两端加美元符号,汉字,中文不是公式。你这样混排在实在太…,唉,

    注意$f'(x)=(ax+a+2)e^x-1$,$f'(-1)=2e^{-1}-1<0$,这就表明$$f'(x)\leqslant 0,$$恒成立,分个参(半分参,相切)就好了。

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本帖最后由 走走看看 于 2019-5-7 22:41 编辑

回复 4# isee

您对我要求太高了,我哪会按格式写。

直接否决掉一个分支,显然解答能简化。非常棒!

如果考虑不到的话,还可以按照如下做吧?


$$f'(x)=(ax+a+2)e^x-1$$

f(x)要在R上单调,$$ax+a+2-\frac{1}{e^x}≥0$$恒成立,或者 $$ax+a+2-\frac{1}{e^x}≤0$$恒成立。

令$$g(x)=ax+a+2-\frac{1}{e^x}$$
$$g'(x)=a+\frac{1}{e^x}$$
当a≥0时,g'(x)>0,g(x)单增。

又$$g(0)=a+2-1=a+1>0$$
∴应使$$g(x)≥0$$恒成立。

但 $x<-1-\frac{2}{a}$时,$$ax+a+2<0,$$因而$$g(x)<0。$$
这与$$g(x)≥0$$恒成立相矛盾。

当a<0时,x∈(-∞,-ln(-a)),$$g'(x)>0;$$
x∈(-ln(-a),+∞),$$g'(x)<0;$$
g(x)最大值=g(-ln(-a))。

要使g(x)≤0恒成立,必须$$g(-ln(-a))≤0。$$
$$g(-ln(-a))=-aln(-a)+2a+2$$
令$$h(a)=-aln(-a)+2a+2,$$
$$h'(a)=-ln(-a)+1>0$$

h(a)是增函数。

又h(-1)=0,所以 满足条件的a∈(-2,-1]。

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本帖最后由 走走看看 于 2019-5-8 14:52 编辑
回复  isee

    恒成立,分个参(半分参,相切)就好了。
   
isee 发表于 2019-4-19 20:57


过(0,a+2)点作$e^{-x}$的切线。这是过动点作定曲线的切线,而不是常规的过定点作定曲线的切线。

设切点为(x0,$e^{-x0}$),斜率为$-e^{-x0}$,方程为$$y-e^{-x0}=-e^{-x0}(x-x0)$$
这个切线方程也是  $$y=ax+a+2,$$  
所以a要满足的条件是$$aln(-a)-2a-2=0$$
令$$h(a)=aln(-a)-2a-2,$$易知a∈(-2,0)时单减。另外,$$h(-1)=0$$
a=-1,x0=0,切线方程是$$y=-x+1。$$
切点$(x0,-e^{-x0})$也就是(0,a+2)这个定点,因此切线就一条。

过(0,a+2)点斜率大于-1的直线都在$$y=e^{-x}$$下方,因而满足条件。

切线的斜率用a表示的,

所以 $$a≥-1 。$$

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本帖最后由 isee 于 2019-4-22 14:09 编辑

回复 6# 走走看看


直线(即切线)过定点(-1,2)。。。

不过,也没太太影响。。。。。。

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