[数列] 不等式放缩

lrh2006

请教两个数列中的不等式放缩的问题，谢谢大家

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2019-4-18 00:03

战巡

回复 1# lrh2006


这俩题没啥意思吧............

1、
\[\sum_{k=1}^nb_k<\sum_{k=1}^\infty b_k=\sum_{k=1}^\infty \frac{3}{4n^2}=\frac{\pi^2}{8}<\frac{5}{4}\]

2、
\[\prod_{k=2}^n(1-\frac{1}{k^2})=\prod_{k=2}^n\frac{k+1}{k}\prod_{k=2}^n\frac{k-1}{k}=\frac{n+1}{2}·\frac{1}{n}\]
至于啥时候大于$\frac{51}{101}$就自己算吧

lrh2006

回复 2# 战巡

谢谢！我知道这些问题对你们来说没什么意思，但是我不会嘛。第一题的求和等于八分之π的平方，是用了什么求和公式吗？不会公式的人要怎么办？

huing

第一题用$\sum_{n=1}^{\infty }\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6$是有点超纲吧。可以用放缩办法。
$$\frac3{4n^2}<\frac{3}{4n^2-1}=\frac3{(2n-1)(2n+1)}=\frac{3/2}{2n-1}-\frac{3/2}{2n+1}$$
所以$$
\sum_{k=1}^{n}{b_n}=\frac34+\sum_{k=2}^{n}{b_n}<\frac34+\frac32\cdot\left(\frac13-\frac1{2n+1}\right)<\frac54
$$

realnumber

1.$\frac{3}{4n^2}<\frac{3}{4n^2-1}=\frac{3}{(2n-1)(2n+1)}$裂项求和.
这个应该也可以$\frac{3}{4n^2}<\frac{3}{4n^2-4}=\frac{3}{4(n-1)(n+1)}$,第一项开始放缩万一超过1.25，那么多保留几项不放缩，比如从第5项开始按这个公式放缩.
2.左边通分，平方差后可以化简的吧

青青子衿

再给一个自认为蹩脚的放缩方法：
\begin{align*}
\frac{1}{n^2}&<\frac{10}{(3n-1)(3n+2)}=\frac{10}{3(3n-1)}-\frac{10}{3(3n+2)}\qquad(n>2)\\
\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}
&<\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{10}{(3\cdot4-1)(3\cdot4+2)}+\cdots+\frac{10}{(3n-1)(3n+2)}\\
&=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{10}{3(3\cdot4-1)}-\frac{10}{3(3\cdot4+2)}+\cdots+\frac{10}{3(3n-1)}-\frac{10}{3(3n+2)}\\
&=\frac{49}{36}+\frac{10}{3(3\cdot4-1)}-\frac{10}{3(3n+2)}\\
&=\frac{659}{396}-\frac{10}{3(3n+2)}\\
&\Downarrow\\
\frac{3}{4}\left(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}\right)
&<\frac{659}{528}-\frac{5}{2(3n+2)}<\frac{659}{528}<\frac{5}{4}
\end{align*}
\begin{align*}
&\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{(2n-1)^2}+\cdots&=\frac{\pi^2}8 < \frac{5}{4}\\
&\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}+\cdots&=\frac{\pi^2}6< \frac{5}{3}
\end{align*}
论坛里出现很多次了：
http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=3529

lrh2006

嗯嗯，懂啦，谢谢楼上各位