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来自人教群的一道集he题$\Bigl[\sqrt{(a^2+b^2)/2}\Bigr]$

QQ截图20131101014722.gif
2013-11-1 01:49

题目:已知 $M\subseteq \mbb N^+$,若 $1\in M$, $2006\in M$, $2007\notin M$,且若 $a$, $b\in M$,则 $\Bigl[\sqrt{(a^2+b^2)/2}\Bigr]\in M$,求 $M$ 有多少个子集?

先证明,若 $a$, $b\in\mbb N^+$ 且 $b\geqslant a+2$,则必有
\[a<\left[\sqrt{\frac{a^2+b^2}2}\right]<b.\]
右边是显然的,而欲证左边只需证
\[\sqrt{\frac{a^2+b^2}2}\geqslant a+1,\]
两边平方整理等价于
\[b^2\geqslant a^2+4a+2,\]
由 $b\geqslant a+2$ 知显然成立。
由此,我们足以断言 $M$ 中的所有正整数必定是连续的,所以 $M=\{1,2,\ldots,2006\}$。
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本帖最后由 realnumber 于 2013-11-1 07:48 编辑

证得一样,$k\ge 1,t\ge 2$
\[\sqrt{\frac{k^2+(k+t)^2}{2}}\ge \frac{k+k+t}{2}\ge k+1\]
再反证法说明下没有大于2006的整数.
题目中$\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$用算术平均,几何平均,...,界于a,b间的数替换,大概都可以的(也许太接近a或b的除外).

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本帖最后由 realnumber 于 2013-11-1 08:05 编辑

这样会有例外吗?
问题改编下,M是自然数集N的子集,1,2013∈M,2014不是M的元素,又满足若$a,b\in M$,则[$\frac{a}{2}+\frac{b}{6}$]∈M,
求集合M的元素个数最少是几个.
似乎问题变得复杂了,比如2012可以不在M内,而且M内似乎有好几处地方不连续...,2013数字过大的话,可以修改为100,包括后面也可以自行修改
[$\frac{a}{2}+\frac{b}{6}$]

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本帖最后由 爪机专用 于 2013-11-1 08:04 编辑

回复 2# realnumber
大于等于算木平均的平均都行,几何平均就不一定连续了。
I am majia of kuing

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本帖最后由 realnumber 于 2013-11-1 08:12 编辑

回复 4# 爪机专用


觉得也可以,比如按这样次序,a=1,b=100,$c=\sqrt{ab}=10$
a=10,b=100,$c=\sqrt{ab}$,....,应该也可以取到所有1~100内的数,包括99
3楼怎样?

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回复 5# realnumber

{1,2,4}

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回复 5# realnumber

99 取不了,倒数第二个一定取不了。

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回复 6# kuing


    哦,你是对的,要不表达式先修改为[$\sqrt{ab}$],考虑M内最少的元素个数.

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