[函数] 理数 分段函数有2极值点，求参数范围

走走看看

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2019-4-11 10:06

走走看看

回复 1# 走走看看


这样的题目从来没见过，分段求导，分母出现3次函数。

m≤0时，前一段函数的导数在x＞3时，h'(x)＜0恒成立，无极值；后一段函数在0＜x＜3时，i'(x)＜0恒成立，无极值，在x≤0时，导函数最多只有1解，即最多一个极值点。故排除A选项。

那m＞0时，又如何排除其他两个选项呢？请大师们指点！

isee

正面刚有点难算，哪就转化成导数有两个零点，不就好办了。
目测是D

走走看看

回复 3# isee


是用两个导数来求的，但第一个导数的分母刚好是3次函数。

两个导数有3种情况满足条件：前后两个导数各有1个解，前面2个解后面无解，后面2个解前面无解。
算起来太复杂了，特别是3次函数不知如何处理。

答案好像不是D，因为答卷上写D，老师打了叉叉。

isee

回复 4# 走走看看


如何出现3次的？
直接求导好了，不要去分母，小题，分参思想。

走走看看

回复 5# isee

$分参也是3次呀，\frac{1}{m}=x(x-1)^2。$

isee

回复 6# 走走看看


这个三次函数没任何难度啊。一个单调的下凸函数。




PS:我说的意思是 $\color{red}{f'(x)}=-2mx$，这两端的函数图象是非常好画的，以及第二段，都画出来，一画就明了。

isee

回复  isee


答案好像不是D
走走看看 发表于 2019-4-11 11:36

稍后我算算。。

===

我错了， 不好意思，造成麻烦了。
我把第二段f'(x)对看成完整的-e^x了。

让y=-2mx过（3，-3^e)，此时的m便是上界了

isee

回复  isee

$分参也是3次呀，\frac{1}{m}=x(x-1)^2。$
走走看看 发表于 2019-4-11 11:49

按这个思路，第二段也写成1/m=多少，然后上图形，最好不要从代数式上讨论，小题。

走走看看

回复 9# isee


    说得好！谢谢指点！

    答案是B吧。

kuing

即直线 `y=2mx` 与分段曲线 `y=-f'(x)=\begin{cases}\frac2{(x-1)^2},&x>3,\\e^x,&x<3\end{cases}` 有两交点，画草图可知下界是直线与 `e^x` 相切时，上界是直线经过 `(3,e^3)` 时，单从后者已经可瞬间看出选 C，拿分走人。

kuing

回复 11# kuing

如果要严格地论证，当大题那样做，肯定麻烦得多，我也不想去写，毕竟这种题本来就毫无美感，没必要浪费时间，所以就用这种应试式的秒杀法好了。

走走看看

回复 12# kuing


    你们都是高手，佩服！

    我也是画图，但画的图是加了一个负号，按说结果是一样的，但结果还是给搞错了。带了负号的没有不用负号的直观，后者是看着习惯。