huing

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终于有人提到阿波罗尼斯圆了，这才是正解。
阿氏圆的定义：到两定点距离之比为定值的点的轨迹。
有关的定义：那两定点称为基点偶，以基点偶为对径点偶的圆称为基圆。阿氏圆与基点偶连线的两交点称为分点偶。
有用的性质：阿氏圆与基圆正交。这是因为按定义，分点偶与基点偶调和共轭。

图1

2019-4-9 10:59

如图1，当内分点N从A~C滑动时，分比（NAC）扫遍$0-\infty$。
在分比较小时，阿氏圆与红色蚌形线相离，M点不存在，MA/MC无值;
分比至某个最小值m时阿氏圆与红色蚌形线相切，M点出现，MA/MC开始有取值;
分比超过m后，阿氏圆与红色蚌形线相交于两点直至退缩为点C.
所以MA/MC的范围即$[m,\infty)$，问题归结为求相切位置及对应的分比m.
由阿氏圆与基圆正交可知，基圆中心 D 与两圆交点 F 的连线是阿氏圆的一条切线;
由于 DC 与蚌形线相切，故 $DM_{in}$ 亦是蚌形线的切线;
可见基圆与蚌形线的交点 $M_{in}$ 正是 N 滑动过程中阿氏圆初触蚌形线的切点，$DM_{in}$ 为公切线。

图2

2019-4-9 10:59

下面来求对应的分比m. 见图2
基圆交BC边于其中心 E，易知$\triangle BM_{in}C\sim\triangle EM_{in}A $, 所以$m=AE/BC=\sqrt3/2$.