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[几何] 请教一道几何问题

已知等边$\triangle ABC$中,点$M$满足:$\angle BMC=120^\circ$,则$\frac{MA}{MC}$的范围是_______.
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又来玩玩速度分解(运动法)……

设 `\triangle ABC` 的中心为 `O`,其关于 `BC` 对称的点为 `O'`,则易知 `M` 的轨迹是弧 `BOC` 及弧 `BO'C`(不含端点),显然当 `M\to C` 时 `MA/MC\to\infty`,所以只需求最小值。

如果 `M` 在弧 `BO'C` 上,则将 `M` 对称到弧 `BOC` 上时 `MA` 更小;如果 `M` 在弧 `OC` 上,则将其对称到弧 `OB` 上时 `MC` 更大,这说明 `MA/MC` 取最小值时 `M` 必在弧 `OB` 上。
QQ截图20190408102143.png
2019-4-8 10:28

现在,让 `M` 自 `O` 向 `B` 运动,速度为 `v`,记 `M` 处的切线为 `l`,设 `MA`, `MC` 与 `l` 的夹角分别为 `\alpha`, `\gamma`,则
\begin{align*}
\frac{\rmd MA}{\rmd t}&=v\cos\alpha,\\
\frac{\rmd MC}{\rmd t}&=v\cos\gamma,
\end{align*}再分别过 `A`, `C` 作 `MA`, `MC` 的垂线与 `l` 分别交于 `D`, `E`,如上图,那么
\begin{align*}
\frac{\rmd}{\rmd t}\left( \frac{MA}{MC} \right)
&=\frac1{MC^2}\left( \frac{\rmd MA}{\rmd t}MC-\frac{\rmd MC}{\rmd t}MA \right)\\
&=\frac v{MC^2}(MC\cos\alpha-MA\cos\gamma)\\
&=\frac{v\cos\alpha\cos\gamma}{MC^2}\left( \frac{MC}{\cos\gamma}-\frac{MA}{\cos\alpha} \right)\\
&=\frac{v\cos\alpha\cos\gamma}{MC^2}(ME-MD), \qquad(*)
\end{align*}由此可见,`MA/MC` 取最小值时必定是当 `D`, `E` 重合时。
QQ截图20190408103747.png
2019-4-8 10:38

如图,当 `D`, `E` 重合时,则 `A`, `M`, `C`, `D` 四点共圆,由于 `AC` 也是弧的切线,故
\[\angle ACM=\gamma=\angle DAC,\]所以 $AD\px MC$,可见此时 `AMCD` 恰好是矩形!

至于此时怎么求 `MA/MC` 的值,且听下回分解……(其实就是还没想到秒杀的计算方法

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有了:
QQ截图20190408111355.png
2019-4-8 11:17

设 `\angle MCA=x`,则 `\angle MBC=x`,不妨设 `\triangle ABC` 边长为 `1`,则当 `MA\perp MC` 时,`MC=\cos x`,那么在 `\triangle MBC` 中使用正弦定理即得
\[
\frac{\cos x}{\sin x}=\frac1{\sin120\du}
\riff \frac{MA}{MC}=\tan x=\sin120\du=\frac{\sqrt3}2,
\]这就是最小值,所以所求范围就是 `\bigl[\sqrt3/2,+\infty\bigr)`。

这样就实现了极小计算量的解答
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

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显然只需考虑 $M$ 在 $\triangle ABC$ 内部的情形,设 $\triangle ABC$ 边长为 1,$\angle MBC=\alpha$,则 $\angle MCB=60^\circ-\alpha$,$\angle MCA=\alpha$,其中 $0^\circ<\alpha<60^\circ$,由正弦定理得
\[
MC=\frac{\sin\alpha}{\sin 120^\circ}=\frac{2\sin\alpha}{\sqrt 3},
\]
再由余弦定理得
\[
MA^2=1+MC^2-2\cdot MC\cos\alpha,
\]
所以
\[
\left(\frac{MA}{MC}\right)^2=\frac{1}{MC^2}+1-\frac{2\cos\alpha}{MC}=\frac{3}{4}\cot^2\alpha-\sqrt 3\cot\alpha+\frac{7}{4},
\]
剩下的就是二次函数的问题了,不再写了。

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噢,其实有了 3# 的方向,已经可以用很常规的方法来撸这道题了,也没什么难度。

继续沿用 3# 的图以及设边长为 `1`,有
\begin{align*}
MC&=\frac{\sin x}{\sin120\du}=\frac2{\sqrt3}\sin x,\\
MA^2&=1+MC^2-2MC\cos x,
\end{align*}所以
\begin{align*}
\frac{MA^2}{MC^2}
&=\frac1{MC^2}+1-\frac{2\cos x}{MC}\\
&=\frac3{4\sin^2x}+1-\frac{\sqrt3\cos x}{\sin x}\\
&=\frac34(1+\cot^2x)+1-\sqrt3\cot x\\
&=\frac34\left( \cot x-\frac2{\sqrt3} \right)^2+\frac34\\
&\geqslant\frac34,
\end{align*}
即 `MA/MC\geqslant\sqrt3/2`。
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回复 4# hejoseph

我反应慢了几分钟……

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原来平几还比较难
我看正三角形,圆,又是距离比,就想上坐标系了,没细思了

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值得一提的是,原题由于数据特殊,才导致取最值时 `MA\perp MC`,但是由速度分解得到的式 `(*)` 是具有一般性的,只要曲线是光滑的就可以这样玩儿。
因此,比如下图,`P` 是绿线上的动点,`A`, `B` 是定点,则当切线与两条垂线三线共点时,`PA/PB` 必处在稳定点(不一定是极值)
QQ截图20190408172442.png
2019-4-8 17:25
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本帖最后由 游客 于 2019-4-8 22:21 编辑

用阿氏圆看看.
1.PNG
2019-4-8 21:41


1.PNG
2019-4-8 22:21

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回复 9# 游客

所以就是要算一个与弧 BOC 相切的阿氏圆出来,像下面这样?:
QQ截图20190408221340.png
2019-4-8 22:13
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回复 10# kuing

是的,你画图比我快,这个能用待定系数法算(相切时),但不知道好不好算。

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原来平几还比较难
我看正三角形,圆,又是距离比,就想上坐标系了,没细思了
isee 发表于 2019-4-8 12:05
话说,我试了一下建系,还真简单……

不妨设 `A(-1,0)`, `C(1,0)`, `B\bigl(0,\sqrt3\bigr)`,则不难计算出里面那段弧所在的圆方程为
\[(x-1)^2+y^2-\frac4{\sqrt3}y=0,\]于是
\[\frac{MA^2}{MC^2}=\frac{(x+1)^2+y^2}{(x-1)^2+y^2}=1+\frac xy\sqrt3,\]接下来随便弄都可以了……

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1.PNG
2019-4-8 23:23

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回复 9# 游客
终于有人提到阿波罗尼斯圆了,这才是正解。
阿氏圆的定义:到两定点距离之比为定值的点的轨迹。
有关的定义:那两定点称为基点偶,以基点偶为对径点偶的圆称为基圆。阿氏圆与基点偶连线的两交点称为分点偶。
有用的性质:阿氏圆与基圆正交。这是因为按定义,分点偶与基点偶调和共轭。

图1

捕获.PNG
2019-4-9 10:59

如图1,当内分点N从A~C滑动时,分比(NAC)扫遍$0-\infty$。
在分比较小时,阿氏圆与红色蚌形线相离,M点不存在,MA/MC无值;
分比至某个最小值m时阿氏圆与红色蚌形线相切,M点出现,MA/MC开始有取值;
分比超过m后,阿氏圆与红色蚌形线相交于两点直至退缩为点C.
所以MA/MC的范围即$[m,\infty)$,问题归结为求相切位置及对应的分比m.
由阿氏圆与基圆正交可知,基圆中心 D 与两圆交点 F 的连线是阿氏圆的一条切线;
由于 DC 与蚌形线相切,故 $DM_{in}$ 亦是蚌形线的切线;
可见基圆与蚌形线的交点 $M_{in}$ 正是 N 滑动过程中阿氏圆初触蚌形线的切点,$DM_{in}$ 为公切线。

图2

捕获1.PNG
2019-4-9 10:59

下面来求对应的分比m. 见图2
基圆交BC边于其中心 E,易知$\triangle BM_{in}C\sim\triangle EM_{in}A $, 所以$m=AE/BC=\sqrt3/2$.

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回复 9# 游客
接下来如何完成?

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如图:
211.png
2019-4-10 02:08

\[ \dfrac{MA}{MC}\geqslant \dfrac{ME}{MC}=\dfrac{ME}{MD}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \]
212.png
2019-4-10 02:03

取等条件当$ \angle AMC=90\du  $时即当$ M $为$ \triangle BCM $的外接圆与以$ AC $为直径的园的交点时(除$ C $点外)
1

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回复 16# 乌贼

卧C!原来这个才才是正正路解法!

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回复 16# 乌贼

果然平几辅助线更佳,赞

同时亦是17楼的简化

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