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[几何] 定点到圆锥曲线弦的垂足的轨迹

本帖最后由 hejoseph 于 2019-4-1 20:57 编辑

点 $P(x_0,y_0)$ 为给定点,点 $A$、$B$ 是给定的圆锥曲线上的两点,满足 $PA\perp PB$,点 $Q$ 是直线 $AB$ 上的点,满足 $PQ\perp AB$,则
1. 圆锥曲线方程为 $ax^2+by^2=1$,则点 $Q$ 的轨迹方程为 $\left((a+b)x-bx_0\right)^2+\left((a+b)y-ay_0\right)^2=a+b-ab\left(x_0^2+y_0^2\right)$;
2. 圆锥曲线方程为 $y^2=2px$,则点 $Q$ 的轨迹方程为 $\left(x-(p+x_0)\right)^2+y^2=p(p+2x_0)$。

看看有没有什么好方法求轨迹方程。
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找到方法了

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回复 2# hejoseph
发出来让我们学习一下吧

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本帖最后由 hejoseph 于 2019-4-5 10:25 编辑

设点 $A$、$B$ 的坐标分别是 $\left(x_1,y_1\right)$、$\left(x_2,y_2\right)$,直线 $AB$ 的方程是 $y=kx+t$,圆锥曲线的方程是 $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$,点 $Q$ 的坐标是 $\left(x_Q,y_Q\right)$。
解方程组
\[
\left\{
\begin{aligned}
y_Q&=kx_Q+t,\\
y_Q-y_0&=-\frac{1}{k}\left(x_q-x_0\right),
\end{aligned}
\right.
\]

\[
\left\{
\begin{aligned}
&k=-\frac{x_Q-x_0}{y_Q-y_0},\\
&t=\frac{x_Q-x_0}{y_Q-y_0}x_Q+y_Q。
\end{aligned}
\right.
\]
把 $y=kx+t$ 代入 $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$,整理得
\[
\left(a+bk+ck^2\right)x^2+(bt+2ckt+d+ek)x+ct^2+et+f=0,
\]
所以
\[
x_1+x_2=-\frac{bt+2ckt+d+ek}{a+bk+ck^2},x_1x_2=\frac{ct^2+et+f}{a+bk+ck^2}。
\]
由 $PA\perp PB$ 得
\[
\left(x_1-x_0\right)\left(x_2-x_0\right)+\left(y_1-y_0\right)\left(y_2-y_0\right)=0,
\]
把 $y_1=kx_1+t$,$y_2=kx_2+t$ 代入上式,整理,得
\[
\left(1+k^2\right)x_1x_2+\left(k\left(t-y_0\right)-x_0\right)\left(x_1+x_2\right)+x_0^2+\left(t-y_0\right)^2=0,
\]
把 $x_1+x_2$ 和 $x_1x_2$ 的值代入上式,整理,得
\begin{align*}
&\left(cx_0^2+cy_0^2+ey_0+f\right)k^2+\left(-by_0+2cx_0-d\right)kt+(a+c)t^2\\
&+\left(bx_0^2+by_0^2+dy_0+ex_0\right)k+\left(-2ay_0+bx_0+e\right)t\\
&+ax_0^2+ay_0^2+dx_0+f=0,
\end{align*}
把 $k$,$t$ 的值代入上式,整理得
\[
\left(\left(x_Q-x_0\right)^2+\left(y_Q-y_0\right)^2\right)\left((a+c)x_Q^2+(a+c)y_Q^2+\left(by_0-2cx_0+d\right)x_Q+\left(-2ay_0+bx_0+e\right)y_Q+ay_0^2-bx_0y_0+cx_0^2+f\right)=0,
\]
由此得
\[
(a+c)x_Q^2+(a+c)y_Q^2+\left(by_0-2cx_0+d\right)x_Q+\left(-2ay_0+bx_0+e\right)y_Q+ay_0^2-bx_0y_0+cx_0^2+f=0
\]
即所求的轨迹方程是
\[
(a+c)x^2+(a+c)y^2+\left(by_0-2cx_0+d\right)x+\left(-2ay_0+bx_0+e\right)y+ay_0^2-bx_0y_0+cx_0^2+f=0。
\]

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