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[数论] 分割正方体

本帖最后由 realnumber 于 2019-3-30 17:35 编辑

一个正方体分割成49个小正方体(只能分割,不能拼凑,大小不论).(小奥六)
很幸运猜到一个答案,分成三层$1=\frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}$,而$49=6^2+3^2+2^2$
配套教材一边注明,分割成47块至今是未解之迷.

我的问题是哪些数据是可以分割出来的,还有47看着似乎并不大啊?

要不,先解决平面问题,即一个正方形分割成n个小正方体.n可以是多少?
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本帖最后由 青青子衿 于 2019-3-30 20:18 编辑

回复 1# realnumber
二维的时候是完美正方形
两两不等的情形下,最低的为21阶(即需要21个小正方形)
\(2^2 + 4^2 + 6^2 + 7^2 + 8^2 + 9^2 + 11^2 + 15^2 + 16^2 + 17^2 + 18^2 + 19^2 + 24^2 + 25^2 + 27^2 + 29^2 + 33^2 + 35^2 + 37^2 + 42^2 + 50^2=112^2\)
三维的时候是完美合立方体(可是,可以证明不存在一个整数立方体分割为两两互不相等的整数小立方体)
https://vjudge.net/problem/HDU-1334
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本帖最后由 业余的业余 于 2019-3-31 06:46 编辑

类似问题上次 kuing 好像做过。

平面问题:

1 可以分成 4 和 9 和 25 等。如果 n 是一个可能的分割,那么 $n+4-1=n+3$ 就必定可能;只要找到某个 $k,k+1,k+2$ 都可能,则其后的整数都可行。

可以把 1 分成 9 个, 再把其中的4个合并为1个,即 $n\implies n+5$, 类似的,把 1 分成 16,再把其中的9个合并为1个,得到 $n\implies n+7$,等等
于是对平面的,有 $n\implies n+3;n\implies n+5; (1,4,7\cdots ); 1, 6, \cdots; 1, 8 \cdots$ 则从 $6$ 以后的一定都可以。之前未列的有 $2,3,5$, 估计不行,待确定

对立体的也有类似的思路

找到 6个k, 使得 $n\implies n+k$ 且 除7的余数不为0且都不一样,就可据此找到了连续7个数满足都可立方拆分 ,上面的方法*或许*可找到最小的这样的数,及之前所有可立方拆分的数。比较tedious.

PS: 得到了一个不错的结果,100内,还不知道是否最小。先放放。$49$ 还没有做出来,说明还有更好的办法。

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本帖最后由 业余的业余 于 2019-3-31 07:08 编辑

回复 1# realnumber

好神奇的发现。 这是个很难找到的盲点,这个真要靠灵机一动才行,这样的奥数题好坑爹
  
还可表达为  $6=3+2+1$。 $6$ 是一个完美数,下一个完美数是 $28=14+7+4+2+1$, 不过这个数已经太大,对我们找最小解没有帮助---我已经把你的题目偷换成找 $k$, 使得所有 $n\ge k$ 都可以分割到(那么多个小立方体)。

不知到还有没有其它的,类似但不同的,拆分一个立方体的方法,目前我得到的解中 $n-1$ 除 $7$ 中余数 $4$ 对应的 $n$ 最大,如果找到就能对解 $47$ 的问题有帮助。估计不可能。
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本帖最后由 realnumber 于 2019-3-31 12:36 编辑

1个可以等分成8个,或一个等分成27个,仅这两种组合的话,分割后数目可以是1+7x+26y,其中x,y为自然数.
1个立方体按1楼这样重复分割z次,那么数目是1+48z.
1个正方体(边长为m+k个单位)按三个互相垂直方向分割为k个单位立方体和边长为m个单位的立方体,那么可以分割为$3k^2m+3m^2k+2$个,
若是上述几种的话,那么可分割数目是$1+7x+26y+48z+(3k^2m+3m^2k+1)t$,$x,y,z,t,k,m\in N,k,m\ge 1,(k,m)=1$.
显然还有很多别的分法.

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我做到 70 以后都可分到。

目前最好结论是 48. 估计就是这个问题的实际答案了。

http://www.sohu.com/a/256925535_497749

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