[几何] 理科数学二模试题（立体几何的外接球半径）

走走看看

$已知半径为4的球面上有两点A ，B ，AB=4\sqrt{2},球心为O ，若球面上的动点C满足二面角C-AB-O 的大小为60° ，$

$则四面体OABC 的外接球的半径为____________.$

不知为什么，总带有一个黑框。

走走看看

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2019-3-31 07:37

$ 配一张图：图中O是半径为4的球的球心，O'是四面体OABC外接球的球心，OA⊥OB，OA=OB=OC=4，∠CDO=60°，求O'A。$

kuing

设 AB 中点 M，作 AB 中垂面与两球截得下图：

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2019-3-29 09:28

易得黑圆半径 `r=8/\sqrt6`。

敬畏数学

首先，O”为OABC外接球的球心，D为AB中点，则O”O垂直于平面ABC，设为H点，下面在直角三角形O"DO中求出R即可。其中，$OD^2=R^2-8$。

走走看看

回复 3# kuing


    反应敏捷，构思精巧，太棒了！

    不过，我的空间想象能力还是够不上，还是不太能够理解。

kuing

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你是否清楚动点 C 的轨迹是什么？

走走看看

回复 6# kuing


    C的轨迹是在AB的中垂面上。C跑到某点的时候是60°，上下都有一个吧？

走走看看

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您的也很好。
也是在一个直角三角形中解决。

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2019-3-31 07:35

$ OO'=\frac{OD}{sin60°}=\frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} $

走走看看

回复 4# 敬畏数学

    OO'垂直于平面ABC，怎么证明呢？只知道OO'⊥BC，但不知如何证明OO'⊥AD。

    怎样能证明AD是公共弦的一部分呢？如果能够证明，当然OO‘⊥AD。

走走看看

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由于它不是常规的模型，所以我只会用笨办法解决。

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2019-3-29 21:22

AO'²=AD²+O'D²=AD²+GH²
CO'²=CG²+O'G²=(CH-GH)²+DH²

$∴ GH=\frac{DH²+CH²-AD²}{2CH}  （*）$

设DH=x，则 CH=√3X，OH=2√2-x
CH²+OH²=CO²
解得DH，CH，然后代入（*）
得到GH，进而得到AO’。

所以 想从这里学学聪明的办法。
各位大神果真厉害！

乌贼

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2019-3-30 01:01

实则求过一园及园外一点的球之半径

isee

你们都不求直径？我都是求直径，构造过O的直径，用射影定理。

走走看看

早晨躺在床上睡不着，又想起了这个问题。在乌贼先生圆面说的提示下，反复思考Kuing图的奥妙和敬畏数学的话，终于想明白了。球心都在每个圆面的垂直面上。延长CD或CM交大球于一点F，则A、B、C、F依然在一个圆面上，所以也就在小球的面上。同时C、F也在大球的圆面上，所以CF就是两个圆面的公共弦。

多谢大家！