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[函数] 三角形中两角余弦的平方和的范围

本帖最后由 敬畏数学 于 2019-3-28 20:35 编辑

三角形ABC中,若$ sinC=2cosAcosB $,则$ cos^2{A} +cos^2{B}$的范围为_________。谢谢!
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本帖最后由 isee 于 2019-3-28 23:03 编辑

回复 1# 敬畏数学

将已知的右边,积化和差,用C表示A-B.

将未知,用倍角公式降次,各差化积,全化成C,再化成2C,大约判定C在90度与135度之间。

PS:函数名称前都要加反斜杠\

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可能走了弯路:

首先将所求式 `C` 化,有
\begin{align*}
\cos^2A+\cos^2B&=1-\cos^2C-2\cos A\cos B\cos C\\
&=\sin^2C-\sin C\cos C\\
&=\frac{1-\cos2C-\sin2C}2\\
&=\frac{1+\sqrt2\sin(2C-3\pi/4)}2,
\end{align*}
于是需要估计一下 `C`,由积化和差有
\[\sin C=2\cos A\cos B=\cos(A-B)-\cos C,\]因为
\[1\geqslant\cos(A-B)>\cos(A+B)=-\cos C,\]所以
\[1-\cos C\geqslant\sin C>-2\cos C,\]由此可得 `\pi/2\leqslant C<\pi-\arctan2`,即
\[\frac\pi4\leqslant2C-\frac{3\pi}4<\frac{5\pi}4-2\arctan2,\]
不难证明上式右边的值介于 `\pi/2` 与 `3\pi/4` 之间,得到
\[\frac1{\sqrt2}\leqslant\sin\left(2C-\frac{3\pi}4\right)\leqslant1,\]所以
\[1\leqslant\cos^2A+\cos^2B\leqslant\frac{1+\sqrt2}2,\]
还需要验证取等条件,因为上面得到关于 `C` 的不等式是否为精确范围现在还不清楚,易知当 `C` 为直角且 `A=B` 时左边取等,至于右边,则需要解出使 `C=5\pi/8` 的解,经过一些计算,可知取等为
\[A=\frac12\arcsin\sqrt{1-\frac1{\sqrt2}}-\frac\pi{16}, B=\frac{7\pi}{16}-\frac12\arcsin\sqrt{1-\frac1{\sqrt2}}, C=\frac{5\pi}8.\]

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其实,更加严格来说,验证两边的取等依然不够,因为现在是求范围,不是求最值,即使两边能取,你也未能确保中间不会有断开。
所以最稳妥还是应该去证明那关于 `C` 的不等式是否的确就是范围,当然最好还能找到其几何意义,这或许可以发现更简洁的解法,时间关系有空再玩,先洗个鸟。

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本帖最后由 敬畏数学 于 2019-3-28 23:46 编辑

$ sinC=2cosAcosB $,则$ \ sin(A+B)=2cosAcosB $,展开,$ tanA+tanB=2 $,齐次化,$ cos^2A+cos^2B=\frac{cos^2A}{sin^2A+cos^2A}+\frac{cos^2B}{sin^2B+cos^2B}=\frac{1}{tan^2A+1}+\frac{1}{tan^2B+1}=\frac{6-2xy}{(xy)^2-2xy+5} $,其中,$x=tanA,y=tanB ,0<xy\leqslant 1$.下面简单了.最小值为1,当$\ xy=1\ $时取得;最大值为$ \frac{\sqrt{2}+1}{2} $,当$\ xy=3-2\sqrt{2}  $取得.这样做有问题吗?

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回复 4# kuing
应该是这样。希望得到进一步的解答!谢谢先。

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回复 5# 敬畏数学

这个解法好,看来这才是正路,我一开始走 C 就注定弯了
这个解法也不用担心范围问题,因为都是等价变形,A、B 又必然都是锐角,xy 的范围无疑是 (0,1]。

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回复 7# kuing
是的,用高手的方法,C范围的确定还是有点担忧!谢谢。

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可能走了弯路:

首先将所求式 `C` 化,有
\begin{align*}
\cos^2A+\cos^2B&=1-\cos^2C-2\cos A\cos B\cos  ...
kuing 发表于 2019-3-28 23:06


哎哟,不打公式果然快一点。。。

判定$C$范围,$$\sin C=2\cos A\cos B\geqslant 0\Rightarrow A,B<\frac \pi2\Rightarrow C\geqslant \frac \pi2,$$
进一步,$$\sin C+\cos C=\cos(A-B)>0\Rightarrow
\tan C<-1\Rightarrow C<\frac {3\pi}4,$$

正好相反,用的$\cos(A-B)>0$这边.

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回复 9# isee

咱们的方法已经不值一提,看 5# 的就好。

PS、根据 5# 的 `\tan A+\tan B=2` 已经可以确定我 2# 的 `\pi/2\leqslant C<\pi-\arctan2` 的确就是精确范围,事实上,若固定 `A(-1,0)`, `B(1,0)`,则 `C` 的轨迹是 `|y|=1-x^2`(`y\ne0`)。

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$ sinC=2cosAcosB $,则$ \ sin(A+B)=2cosAcosB $,展开,$ tanA+tanB=2 $,齐次化,$ cos^2A+cos^2B=\frac ...
敬畏数学 发表于 2019-3-28 23:44


这个其实是我最开始的想法,但是没想到分别处理A,B,我是用的万能公式,式子过于复杂放弃了。

\begin{align*}
\cos^2A+\cos^2B&=\frac 12(1+\cos 2A+1+\cos 2B)\\
&=1+\frac 12\cdot \frac {1-\tan^2A}{1+\tan^2A}+\frac 12\cdot \frac {1-\tan^2B}{1+\tan^2B},\\
&=\cdots
\end{align*}

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回复  isee

咱们的方法已经不值一提,看 5# 的就好。

PS、根据 5# 的 `\tan A+\tan B=2` 已经可以确定我 ...
kuing 发表于 2019-3-29 10:06


起这么早,木想到啊

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