纯三角,想用张角公式,大致看了一眼,不太好消参。
又见直角,得,上直角坐标系吧。
如图,不妨令$C(0,0),A(1,0),B(0,b)$,设$D(m,0),E(0,n)$。
由$\angle DBA=30^\circ$,由到角公式
\begin{align*}
\tan 30^\circ&=\frac {k_{AB}-k_{BD}}{1+k_{AB}\cdot k_{BD}},\\[1em]
\frac 1{\sqrt 3}&=\frac {-b+b/m}{1+b^2/m},\\[1em]
m&=\frac {\sqrt 3b-b^2}{1+\sqrt 3b},
\end{align*}
同理由$\angle BAE=30^\circ$到角公式可得到$$n=\frac {\sqrt 3b-1}{b+\sqrt 3}.$$
从而$$\tan CDE=\frac nm=\frac {3b^2-1}{3b-b^3},$$
$$\tan CAE=\frac n1=\frac {\sqrt 3b-1}{b+\sqrt 3},$$
下面直接计算$$\tan 3\angle CAE=\frac {3n-n^3}{1-3n^2}=\frac {8(3b^2-1)}{8(3b-b^3)}=\tan CDE,$$证毕。 |