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[函数] 2015年四川文科数学第21题 导数证明题

本帖最后由 走走看看 于 2019-3-22 13:12 编辑

21.(14分)(2015•四川)已知函数f(x)=﹣2xlnx+x²﹣2ax+a²,其中a>0. 
(Ⅰ)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;
(Ⅱ)证明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.

这道题,从字面上看,既然(1,+∞)内有解,根据零点存在定理,那么在(1,+∞)上肯定有函数值为负的x点,或者与x轴相切于x∈(1,+∞)上的某一点。

解答中是根据零点存在定理来做的。既然如此,又怎么可能f(x)≥0恒成立呢?
所以我认为这两者不能同时成立,即f(x)≥0时,所对应的a的值 与  f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解时所对应的a的值,应该不同。

从提供的参考答案上看,它们是同一个值。a取自a0,而a0来自x0。
从画板验证来看,也不存在同时满足这两个条件的a值。
这是怎么回事呢?

参考答案见:  https://wenku.baidu.com/view/314 ... 37f111f1850dc1.html  第16页
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回复 1# 走走看看

感觉参考答案有问题,题目也有歧义。

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本帖最后由 走走看看 于 2019-3-22 16:07 编辑

回复 2# 走走看看

把答案转录一下:

$(Ⅰ)函数f(x)=﹣2xlnx+x^2﹣2ax+a^2,,其中a>0.可得:x>0.$

$g(x)=f′(x)=2(x﹣1﹣lnx﹣a),∴g′(x)=2-\frac{2}{x}=\frac{2(x-1)}{x},$

$当0<x<1时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减; $

$当1<x时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增.$

$(Ⅱ)证明:由f′(x)=2(x﹣1﹣lnx﹣a)=0,解得a=x﹣1﹣lnx, $

$令u(x)=﹣2xlnx+x^2﹣2(x﹣1﹣lnx)x+(x﹣1﹣lnx)^2=(1+lnx)^2﹣2xlnx,$

$则u(1)=1>0,u(e)=2(2﹣e)<0, $

$∴存在x0∈(1,e),使得u(x0)=0,$

$令a0=x0﹣1﹣lnx0=v(x0),其中v(x)=x﹣1﹣lnx(x≥1), $

$由v′(x)=1﹣\frac{1}{x}≥0,可得:函数v(x)在区间(1,+∞)上单调递增.$

$∴0=v(1)<a0=v(x0)<v(e)=e﹣2<1,$

$即a0∈(0,1),当a=a0时,有f′(x0)=0,f(x0)=u(x0)=0. $

$再由(I)可知:f′(x)在区间(1,+∞)上单调递增, $

$当x∈(1,x0)时,f′(x)<0,∴f(x)>f(x0)=0; $

$当x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0,∴f(x)>f(x0)=0;$ 

$又当x∈(0,1],f(x)=(x-a0)^2-2xlnx>0. $

$故当x∈(0,+∞)时,f(x)≥0恒成立。$

$综上所述:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)上有唯一解。$

提示:(II)中的u(x)实质就是f(x),因此说,这种论证是前后矛盾的,是错误的。

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回复 3# 走走看看


    这里有个链接似乎解决方式是正确的,但作者抄错了题目,把-2xlnx炒成了-2lnx,思路似乎正确。请专家指教!

    https://wenku.baidu.com/view/3784695749649b6648d7478c.html

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回复  走走看看

把答案转录一下:

$(Ⅰ)函数f(x)=﹣2xlnx+x^2﹣2ax+a^2,,其中a>0.可得:x>0.$ ...
走走看看 发表于 2019-3-22 15:59


这是标答,写得太别扭了。这个答案是没有问题的,u(x)和f(x)并不是完全一样的。
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回复  走走看看

把答案转录一下:

$(Ⅰ)函数f(x)=﹣2xlnx+x^2﹣2ax+a^2,,其中a>0.可得:x>0.$ ...
走走看看 发表于 2019-3-22 15:59


这公式中有部分减号基本看不见,也是别扭得很。

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本帖最后由 isee 于 2019-3-22 18:38 编辑

回复 1# 走走看看

第二问的难度并不大,正常讨论就好。

$$f(x)\geqslant 0\iff g(x)=-2\ln x+x-2a+\frac {a^2}x\geqslant 0,$$

对$g(x)$求导,有$$g'(x)=\frac {x^2-2x-a^2}{x^2},$$

令(考察分子的图象)$$g'(x)=0\Rightarrow g'(x_0)=0,x_0\in(2,+\infty),x_0^2-2x_0-a^2=0.$$

进一步(用$x_0$表示$a^2$),依题有$$g(x)_{\min}=g(x_0)=-2\ln x_0+2x_0-2a-2\geqslant 0\Rightarrow a\leqslant \left(-\ln x_0+x_0-1\right)_{\max},$$

取$x_0\in(2,e)$,则$a\leqslant e-2<1$,这便证明了,存在$a\in (0,1)$使$f(x)\geqslant 0$恒成立.

这后半部分是显然的,$g(x_0)=0=f(x_0)=0,x_0>2$.
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本帖最后由 isee 于 2019-3-22 18:37 编辑

自已写一次,反过来看标答,标答好聪明!!!
2015四川文21.jpg

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本帖最后由 走走看看 于 2019-3-22 19:50 编辑

回复 8# isee

请教Isee,两部分都涉及到a的取值,两部分a的取值是一样的吗?

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本帖最后由 isee 于 2019-3-22 19:54 编辑

回复 9# 走走看看

不明白你指什么,
   
如果 是指 “(Ⅱ)证明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.”

这两部分(一个非负,一个惟一零点),a 是一样的。


如果是指标答过程,标答的过程就是在论证存在这样的$a$。一个整体,并没有“割裂”成两部分。

标答前三行,实际意思就是说,$a>0$时导函数总是有零点的,第二行其实就是算的$f(x)$的极值(形成新的函数),并让这个极值为零,从而找出了$x_0$,由此得到 a 的范围。

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回复  isee

请教Isee,两部分都涉及到a的取值,两部分a的取值是一样的吗? ...
走走看看 发表于 2019-3-22 19:18


我大约明白你的意思了,你的出发点是$a\in (0,1)$,然后怎么怎么样。

标答(及我的)都是在确定$a$的范围,不是从$a\in (0,1)$这个条件出发的。

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本帖最后由 走走看看 于 2019-3-22 21:21 编辑

回复 10# isee

明白了,衷心感谢Isee的诲人不倦!

很长时间里,我把x0看成了原函数的零点,未曾想到是是导函数的零点。

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本帖最后由 走走看看 于 2019-3-22 21:33 编辑

回复 7# isee

您的解法易懂,亲切感较强,是一种很好的解法。标答不易懂。

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本帖最后由 isee 于 2019-3-22 21:44 编辑

回复 12# 走走看看


哈哈哈,是啊$\varphi(x)$ 表示的是极值(形成新函数),极值为零时,极值点正好是函数的零点。

这就是标答聪明的地方,压根就不管极大极小值,直接开干。

你明白了,体会到了就好

其实,你自己按自己的思想写一次,你就明白了,标答,别扭极了。

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回复 7# isee


    取x0∈(2,e),则a⩽e−2<1,这便证明了,存在a∈(0,1)使f(x)⩾0恒成立.

    请问Isee,(2,e)您是怎么来的呀?g(2)>0,g(e)>0呀。

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回复 15# 走走看看

$x_0$是导数$g'(x)$的零点(也是极小值点),不是函数$g(x)$的零点.

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回复 16# isee

谢谢!

您的答案和标准答案都没有问题,但您的答案好理解。

需要提醒的是,如果题目要求出只有一个零点时的参数的取值范围,需要对极小值进行讨论。参2018年全国卷理科2卷第21题的参考答案。

这里只是一种存在性,当极小值点小于零时,即使极小值点的右边的渐近线是y=0,也不影响本题的解答。本题的意思只要找出一种即可,无需穷尽所有种情况。

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