本帖最后由 isee 于 2019-3-22 18:38 编辑
回复 1# 走走看看
第二问的难度并不大,正常讨论就好。
$$f(x)\geqslant 0\iff g(x)=-2\ln x+x-2a+\frac {a^2}x\geqslant 0,$$
对$g(x)$求导,有$$g'(x)=\frac {x^2-2x-a^2}{x^2},$$
令(考察分子的图象)$$g'(x)=0\Rightarrow g'(x_0)=0,x_0\in(2,+\infty),x_0^2-2x_0-a^2=0.$$
进一步(用$x_0$表示$a^2$),依题有$$g(x)_{\min}=g(x_0)=-2\ln x_0+2x_0-2a-2\geqslant 0\Rightarrow a\leqslant \left(-\ln x_0+x_0-1\right)_{\max},$$
取$x_0\in(2,e)$,则$a\leqslant e-2<1$,这便证明了,存在$a\in (0,1)$使$f(x)\geqslant 0$恒成立.
这后半部分是显然的,$g(x_0)=0=f(x_0)=0,x_0>2$. |