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[函数] 2010年全国理科数学第20题的奇怪解法

已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1.
(Ⅰ)若xf'(x)≤x²+ax+1,求a的取值范围;
(Ⅱ)证明:(x-1)f(x)≥0

解答(Ⅰ)时,整理出来后是如下一个式子:xlnx-x²-ax≤0。
如果像我一样粗心,没有仔细研究它,而是直接求导,那是否也能解出正确答案呢?

题目来自:https://wenku.baidu.com/view/7d2a7cb9915f804d2a16c17f.html
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回复 1# 走走看看


可以的。

只是计算多了一环,求两次导即可。
令$$g(x)=x\ln x-x^2-ax,$$
讨论$$g''(x)=\frac {1-2x}x,$$
知$g'(x)$有极大值。
分两种情况讨论
一种为$g'(x)$极大值$\leqslant 0$;


另一种$g'(x)$极大值$>0$,此时$g(x)$有两个极值点,设两极值点分别为$x_1<1/2<x_2$,算$g(x)$的极大值$g(x_2)\leqslant 0$,
得到$x_2$的具体范围,再由$$g'(x)=0,$$确定实数$a$的范围。

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本帖最后由 走走看看 于 2019-3-22 07:21 编辑

回复 2# isee


    $试了下,确实行。不过,按照惯例,必须能证明出这样的x1、x2存在,即要找到在(0,1/2)上有一点,g'(x)<0;同时在(1/2,+∞$))

$找到一点,使得g'(x)<0。而这两个点的确定,不容易。$

    $谢谢isee!$

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本帖最后由 走走看看 于 2019-3-22 06:56 编辑

回复 3# 走走看看


    $能找到一个点\frac{-a}{e},使得g'(x)<0,但不能确定在(0,\frac{1}{2})还是在(\frac{1}{2},+∞)上。$

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这个贴的主题到底是什么意思?
1.如果是因为不仔细,就可能出错,这样应该避免出错,不是为错误找寻出路啊。
2.作为题型,这样要导2次,极值点不能直接解出的,这样的类型这些年出现的好多的。
3.作为发现问题的一种方式,那发散性太强了......

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回复 3# 走走看看


不客气。   

回复 4# 走走看看


卖个关子,如果楼主把中文与数学公式分开写,换句话说:仅把公式两端加美元符号,我就细说一下,虽然楼主只是想多了而已

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回复 5# 游客


我认为楼主只是想研究一下,如果不把左端的$x$剥离,是否可解呢,就这个,并没什么其他意途吧。

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本帖最后由 走走看看 于 2019-3-22 10:15 编辑

回复 5# 游客

主要是作为一种题型,比如没有x可以提取。
g'(x)极大值>0,不一定在整个定义域内g'(x)就有零点存在,如果没有零点存在,g(x)就没有极值啊。

高考中有不少题,都要找零点所在区间。这里不同的是,找导数的零点区间,而非原函数的零点区间。不是精确地得到零点。

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回复 7# isee


    作为一种方法,您开拓了一种思路。对于这道题,可能难以确定导数的零点区间,但在其他题中,可能可以做到。

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本帖最后由 isee 于 2019-3-22 11:20 编辑

回复 9# 走走看看

算了,败给你了。

走走看看 坚持 中文与数学公式在一起好看,我也就罢了吧。


这才是我的重点,论坛各位初学公式时,特别郑重的建议,数学公式与中文分开

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本帖最后由 isee 于 2019-3-22 12:03 编辑
回复  走走看看


    $能找到一个点\frac{-a}{e},使得g'(x)
走走看看 发表于 2019-3-22 06:55


以下是其次。

(取值)其实还是有极限思想的。

对于$$g’(x)=\ln x-2x+1-a,$$有极大值点$1/2$,其有零点需先有$$g'(1/2)>0\Rightarrow a<-\ln 2.$$

而此时记$$0<x_0=e^{a-1}<e^{-\ln 2-1}<\frac 12,$$

这时$$g'\left(e^{a-1}\right)=a-1-2x_0+1-a=-2x_0<0.$$


同样的$$e^{a^2+1}>\frac 12,$$

这时,注意$e^{a^2+1}>(a^2+1)+1$,
\begin{align*}
g'\left(e^{a^2+1}\right)
&=a^2+1-2\left(e^{a^2+1}\right)+1-a\\
&<a^2+1-2(a^2+1+1)+1-a\\
&=-a^2-a-2\\
&<0.
\end{align*}
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