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[几何] 2019年安徽省江南十校高三综合检测 理科数学 立体几何小题

本帖最后由 走走看看 于 2019-3-17 21:50 编辑

三棱锥A-BCD中,AC=AD=BC=BD=10,AB=8,CD=12,点P在侧面ACD上,且到直线AB的距离为√21,则PB的最大值是____。

jh03.png
2019-3-17 21:50


答案见 https://wenku.baidu.com/view/8c4 ... 3610661fd95a61.html

为什么“此时PB最大”?
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本帖最后由 业余的业余 于 2019-3-17 23:01 编辑

你的题和这道http://kuing.orzweb.net/viewthre ... &extra=page%3D1大体一样,$P$ 限定在侧面 $ACD$ 上,与最后的估计一致。

设$E$ 为 $CD$ 的中点,显然有 $AB=AE=BE=8$, 于是 $B$ 在平面 $ACD$ 的投影 $B'$ 为 $AE$ 的中点, 即 $AB'=4, BB‘=4\sqrt{3}$, 且直线 $AB$ 与平面所成的角度为 $60\du$.
若以$A$ 为坐标原点,$\vv{AE}$ 为 $X$ 轴正方向在平面 $ACD$ 上建立直角坐标系,有
1. 椭圆方程为 $\frac {x^2}{84}+\frac{y^2}{21}=1$, 或 $x^2+4y^2=84$;
2. 记椭圆与$AD, AE$ 的交点分别为 $F,G$, 有$B'(4,0), G(2\sqrt{21},0), F(\sqrt{\frac {21}{13}}, \frac 34\sqrt{\frac{21}{13}}$
(椭圆与直线 $y=\frac 34 x$ 的交点为  $F$)
3. $|PB|^2=|PB'|^2+|BB'|^2=|PB'|^2+48\tag{1}$
   如故求出了 $|PB'|^2$ 的最大值, 自然就得到了 $|PB|$ 的最大值。由对称性,只需考虑 $P$ 在 $\sqrt{\frac {21}{13}}\le x\le 2\sqrt{21}, y>0$ 中的情况。

$D(x)=|PB'|^2=(x-4)^2+y^2=(x-4)^2+21-x^2/4=\frac 34 x^2-8x+37$

显然最大值在边界处取得, $D(\sqrt{\frac {21}{13}})=?, D(2\sqrt{21})=?$, 把 $D$ 的最大值代入(1) 式,即得到所求最大值。不排除过程中有计算甚至逻辑错误。参考答案应该是对的。

PS: 与参考答案似乎差距不小,不知道哪里搞错了。思路供参考和批评吧。

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回复 2# 业余的业余

那帖我一直没看,因为讨论了那么久居然都没配个图
这帖总算有了,题目也是纯文字而且不缺关键词了,不过那图看着就误差大,还是画一个好看点的吧:
QQ截图20190317231444.png
2019-3-17 23:20

这里 `B'` 是 `B` 在 `ACD` 上的投影,问题就转化为 `B'` 到那段椭圆弧的最大距离。

确实,虽然看起来是端点处最大,但严格来说需要证明,坑……

噢对了,由题目的数据可知 `B'` 恰好处在弧两端连线的中点上,不过对证明似乎也没啥用……
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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回复 2# 业余的业余

椭圆方程应该是 `x^2/28+y^2/21=1` 吧,范围加上 `x\geqslant4`,然后 `B'(4,0)`,得 `B'P^2=(x-4)^2+y^2=(x-4)^2+21-3x^2/4=(x-16)^2/4-27`,于是显然当 `x=4` 时 `B'P^2_{\max}=9`,答案就是 `\sqrt{B'B^2+9}=\sqrt{57}`。

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回复 4# kuing

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回复 3# kuing


    椭圆(圆柱侧面)上的点到轴AB的距离都相等,显然P点越高,PB越大,所以P在AC或AD上。

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回复 6# 游客

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回复 6# 游客

原来是这样看嘀啊

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回复 8# kuing


    Kuing的配图很好看,各位老师的解答也是精彩纷呈,谢谢大家!

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