本帖最后由 yao4015 于 2019-3-18 13:31 编辑
(1) 设 $x\geq 0$, $a,b,c,d$ 是给定的实数. 且集合 $\{a,b\}$ 与 $\{c,d\}$ 的交集是空集. 证明不等式
$$x^a+x^b-x^c-x^d\geq 0$$
成立当且仅当
\begin{align*}
&\max\{a,b\}>\max\{c,d\}&\\
&\min\{a,b\}<\min\{c,d\}&\\
&a+b=c+d.&
\end{align*}
(2) 一般情况不知是否成立.
设 $x\geq 0$, $a_1,\cdots, a_n, b_1,\cdots, b_n \ (n\geq 2)$ 是给定的实数. 且数组 $(a_1,\cdots, a_n)$ 中没有一个数出现在数组 $(b_1,\cdots, b_n)$ 中.
猜想: 不等式
\begin{align}
x^{a_1}+\cdots+x^{a_n}-x^{b_1}-\cdots-x^{b_n}\geq 0
\end{align}
成立当且仅当
\begin{align*}
&\max \{a_1,\cdots, a_n\} > \max \{b_1,\cdots, b_n\}&\\
& \min \{a_1,\cdots, a_n\} < \min \{b_1,\cdots, b_n\}&\\
& a_1+\cdots+a_n=b_1+\cdots+ b_n.&
\end{align*} |