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[不等式] 单变量的不等式

本帖最后由 yao4015 于 2019-3-18 13:31 编辑

(1) 设 $x\geq 0$,  $a,b,c,d$ 是给定的实数. 且集合 $\{a,b\}$ 与 $\{c,d\}$ 的交集是空集. 证明不等式
$$x^a+x^b-x^c-x^d\geq 0$$
成立当且仅当
\begin{align*}
&\max\{a,b\}>\max\{c,d\}&\\
&\min\{a,b\}<\min\{c,d\}&\\
&a+b=c+d.&
\end{align*}

(2) 一般情况不知是否成立.
设 $x\geq 0$,  $a_1,\cdots, a_n, b_1,\cdots, b_n \ (n\geq 2)$ 是给定的实数. 且数组 $(a_1,\cdots, a_n)$ 中没有一个数出现在数组 $(b_1,\cdots, b_n)$ 中.
猜想:  不等式
\begin{align}
x^{a_1}+\cdots+x^{a_n}-x^{b_1}-\cdots-x^{b_n}\geq 0
\end{align}
成立当且仅当
\begin{align*}
&\max \{a_1,\cdots, a_n\} > \max \{b_1,\cdots, b_n\}&\\
& \min \{a_1,\cdots, a_n\} < \min \{b_1,\cdots, b_n\}&\\
& a_1+\cdots+a_n=b_1+\cdots+ b_n.&
\end{align*}
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(2) 四元反例:`\{a_1, a_2, a_3, a_4\} = \{-10, -1, 1, 10\}`, `\{b_1, b_2, b_3, b_4\} = \{-9, -8, 8, 9\}`。

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本帖最后由 yao4015 于 2019-3-17 13:28 编辑

回复 2# kuing

谢谢 Kuing!
$n=4$  不成立, 那么 $n>4$ 也不可能成立了.  由于上面猜测不对, 问题的结论就成开放的了. 问题的答案究竟是什么呢? 非常好奇.

$n=3$ 的结论仍可能是对的.

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`n=3` 的确是对的,为方便书写,下面将 `x^a+x^b\geqslant x^c+x^d` 简记为 `(a,b)\geqslant(c,d)`。

不妨设 `a_1<a_2<a_3`, `b_1<b_2<b_3`, `a_1<b_1`, `a_3>b_3`。

若 `a_2<b_2`,由 `a_1<b_1` 得 `a_2+a_3>b_2+b_3`,那么 `a_2<b_2<b_3<a_2+a_3-b_2<a_3`,根据二元的结论,有
\[(a_1,a_2,a_3)\geqslant (a_1,b_2,a_2+a_3-b_2)\geqslant (b_1,b_2,b_3);\]
同理可证 `a_2>b_2` 的情况,所以结论成立。

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本帖最后由 yao4015 于 2019-3-18 15:17 编辑

$n=3$ 的另外一个证明, 只需注意到 $f(y)=x^y$ 是 $(0,+\infty)$ 上的凸函数(二阶导是 $x^y\ln(x)^2$). 所给条件在排定一个序下正好是 $\{a_1,a_2,a_3\}$ 控制 $\{b_1,b_2,b_3\}$, 根据 Karamata Majorization 不等式来得到充分性.  必要性是明显的( 如果第三个条件不成立, x=1 是一个单零点, 反例会出现在1的附近).
一般情况下控制关系($\{a_1,\cdots, a_n\}$ 控制 $\{b_1,\cdots, b_n\}$ ) 也是充分的. 但是否必要?

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回复 5# yao4015

哦,我也忘了还有必要性没想,4# 只证了充分性……
控制理论我了不是很了解……

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这题目真数学,四数不等,我还看了一会儿

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回复 7# isee

没有四数不等, $c$ 和 $d$ 还是可以相等的.

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回复 8# yao4015


认输了~~~

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回复 8# yao4015

主要是你写成了集合,要互异那就意味着不能等了……
其实不要写集合,直接大前提是 a<=b, c<=d,然后结论部分是 a<c<=d<b 且 a+b=c+d 不就好了么,更清晰

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本帖最后由 yao4015 于 2019-3-17 16:32 编辑

那多元的这就烦了

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本帖最后由 yao4015 于 2019-3-18 13:32 编辑

控制条件的确不是必要的. 一个例子如下
数组 $(26,18,15,1)$ 并不控制数组 $(25,20,10,5)$, 因为 $26+18=44<45=25+20$.
但是我们仍有如下不等式
$$x^{26}-x^{25}-x^{20}+x^{18}+x^{15}-x^{10}-x^5+x\geq 0. (x\geq 0)$$

整理一下: 对一楼的不等式 (1), 一楼的条件太弱了, 而控制条件又太强了.  问: 不等式 (1) 成立的充分必要条件是什么?

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回复 4# kuing

四楼的同理可证,能请教一下吗?

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回复 13# hjfmhh

说明你还没真正理解 4# 的证明。

a2<b2 时我先将 a2,a3 拉近,再拉两边,那 a2>b2 时当然就是先拉 a1,a2 了啊。

当然,还可以更直接,作置换 `x\to1/x` 就行了,反正两种情况实际上是一样的。

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回复 14# kuing
  1. 若a2>b2,由a3>b3知a1+a2<b1+b2那么
  2. a1<a1+a2-b2<b1<b2<a2,a1+a2-b2<b1<b2<b3<a3
  3. x^a1+x^a2+x^a3>=x^(a1+a2-b2)+x^b2+x^a3
  4. >=x^b1+x^b2+x^b3
复制代码

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回复 15# hjfmhh

烦请再指示一下置换的意思

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回复 16# hjfmhh
  1. 估计kuing的置换是这个意思:
  2. 若a2>b2,则-a2<-b2,条件为
  3. -a3<-a2<-a1,-b3<-b2<-b1,
  4. -a3<-b3,-a1>-b1,-a1+(-a2)+(-a3)=-b1+(-b2)+(-b3),
  5. 由前面所证知
  6. x^(-a1)+x^(-a2)+x^(-a3)>=x^(-b1)+x^(-b2)+x^(-b3)
  7. 1/x置换为x
  8. 即x^(a1)+x^(a2)+x^(a3)>=x^(b1)+x^(b2)+x^(b3)
  9. 也就是说第二中情况可以转化为第一种情况,这个可能就是kuing所说的两种情况实际上是一样的吧?
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