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[几何] 一个空间角比较的问题

这个问题我是通过特殊位置角的大小来确定答案B的。
一个空间角问题.jpg
2019-3-16 12:29

我想老实点解决它,问题中角$α$和$β$是容易比较的,但角$α$和$γ$如何通过计算比较出来,是个难题,想了几个晚上,都没定。
向各位高手求助。
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第一感,角平分线定理,余弦定理。另 $AD:BD=k >1, B_1C $相同, 两个角用余弦定理表达出来,利用 余弦在区间内的单调性,可否得出结论。?

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比较 `\alpha` 和 `\gamma` 其实与角平分线什么的都没关系,实际上就是:平面上一条直线被折起后的角 `\gamma` 不小于二面角 `\alpha`。
QQ截图20190316151914.png
2019-3-16 15:19

设直线与折痕所成夹角为 `\theta`,则有
\[\sin\frac\gamma2=\sqrt{\cos^2\theta+\left(\sin\theta\sin\frac\alpha2\right)^2},\](推导细节我就懒得写了,请自行看图思考)那么显然有
\[\sin\frac\gamma2\geqslant\sqrt{(\cos^2\theta+\sin^2\theta)\sin^2\frac\alpha2}=\sin\frac\alpha2,\]所以 `\gamma\geqslant\alpha`,当且仅当 $\theta=90\du$ 时取等。
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回复 3# kuing


   能否进一步推广到不一定是直线的情形: 比如图中的 $l$ 现在不是直线,在两个半边上分别有点 $A,B$, 如果$A,B$ 在折痕垂线的同一侧,那么折出来的角小于二面角,如果在折痕的异侧,那么折出来的角大于二面角?

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能否进一步推广到不一定是直线的情形: 比如图中的 $l$ 现在不是直线,在两个半边上分别 ...
业余的业余 发表于 2019-3-16 21:19
未必,异侧时有也可能会小于,你想象一下极端情形:记中间那交点是 O,当 OA 几乎与折痕平行,OB 几乎与折痕垂直,这样无论怎么折,角 AOB 都接近直角,所以一开始折就会小于。

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回复 5# kuing

是的。

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回复 4# 业余的业余

进一步玩的话,可以了解一下三面角余弦定理。若利用该公式,则 3# 的情况还可以写成 `\cos\gamma=\sin^2\theta\cos\alpha-\cos^2\theta`,这显然更好看。

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回复 7# kuing

这个拿来求二面角,很多时候就把高考模拟题就秒了,经常用来对答案,我。

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回复 7# kuing
好的,谢谢推荐。我有时间时一定去看。高考题都会有一些立体几何问题,有时候有巧招可省不少时间,更重要的是有智力愉悦感。

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回复 7# kuing
21.png
2019-3-21 14:12
这是更加一般的结论

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回复 7# kuing
21.png
2019-3-21 14:53

Kuing三面角余弦定理怎么说明,请书写一下。我是用向量说明的

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