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求一个向量表达式最小值

$\vv{a}$,$\vv{b}$不相等,$\vv{c}$不为零向量,且$(\vv{c}-\vv{a})·(\vv{c}-\vv{b})=0$,
则$\frac{\abs{\vv{a}+\vv{b}}+\abs{\vv{a}-\vv{b}}}{\abs{\vv{c}}}$的最小值是_____.
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由条件得
\[
\abs{\bm a+\bm b-2\bm c}=\abs{\bm a-\bm b},
\]故
\[
\frac{\abs{\bm a+\bm b}+\abs{\bm a-\bm b}}{\abs{\bm c}}
\geqslant \frac{2\abs{\bm c}-\abs{\bm a+\bm b-2\bm c}+\abs{\bm a-\bm b}}{\abs{\bm c}}=2,
\]取等显然不唯一,随便取一个可以是 `\bm a=(0,1)`, `\bm b=(0,-1)`, `\bm c=(1,0)`。其实,下图这样的都能取等:
QQ截图20190310154046.png
2019-3-10 15:40


PS、单字母向量建议用粗体(\bm),这样好看些,特别是加绝对值 \abs 时。
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评分人数

    • realnumber: 谢谢,三角形两边和大于第三边,就下面的图. ...威望 + 1

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回复 1# realnumber
此题很简单的。OA=a,OB=b,OC=c,点C落在A、B为直径的圆上,|C|的最大值d+r=1/2(|a+b|+|a-b|)就为2.

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回复 3# 敬畏数学

不是圆,是球(甚至是高维的),皆因题目没说是平面向量(凡向量题我都会注意看有没有平面二字没有的话我就尽量用像 2# 那样的纯向量解法比较稳妥)

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由条件得


这个$$\abs{\bm a+\bm b-2\bm c}=\abs{\bm a-\bm b},$$把题中那个垂直翻译得面目全非了,都又是和所求那么的接近……

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回复 5# isee

这个其实就是矩形对角线相等呀……[小纠结]

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本帖最后由 业余的业余 于 2019-3-11 00:29 编辑

回复 2# kuing


学习了。

$ \abs{\bm a+\bm b-2\bm c}=\abs{\bm a-\bm b}$

花了好久才想明白这个 :(

从几何意义上 位置向量 $\bm{a}$ 和 $\bm{b}$ 的中点 $\frac {\bm{a}+\bm{b}}2$ 到以 $\bm{a}$ 和$\bm{b}$ 为直径的圆上的一点代表的位置向量 $\bm{c}$ 的距离就是半径,就是 $\abs{\frac{\bm{a}-\bm{b}}2}$.

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回复 7# 业余的业余

就是 $\bm x\cdot\bm y=0\iff\abs{\bm x+\bm y}=\abs{\bm x-\bm y}$ 代 `\bm x=\bm a-\bm c`, `\bm y=\bm b-\bm c`……
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评分人数

    • 业余的业余: 原来如此。我把所有的量带进去,也"证明" ...威望 + 1

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