本帖最后由 业余的业余 于 2019-3-10 09:43 编辑
回复 1# 敬畏数学
用一个朴实的笨办法,来映衬使用不等式的巧解。
以参数形式表示 $A,B$ 的坐标为 $A(-1+\cos\alpha,\sin\alpha), B(2+2\cos\beta, 2\sin\beta)$, 并记 $f(\alpha,\beta)=\sin\alpha+\sin\beta+\sin(\alpha-\beta)$, 有
$S_{\triangle OAB}=\frac 12 |\vv{OA}\times\vv{OB}|=|(-1+\cos\alpha)\sin\beta-\sin\alpha(1+\cos\beta)|=|f(\alpha,\beta)|$
显然,$Max\{S_{\triangle OAB}\}$ 可在 $0<\beta\le\alpha<\pi$ 时取得。以下作此限定。
$\nabla f=\vv{0}\implies
\edr
\cos\alpha+\cos(\alpha-\beta)&=0\\
\cos\beta-\cos(\alpha-\beta)&=0
\endedr \implies \beta=\cfrac {\pi}3, \alpha=\cfrac{2\pi}3\\
\implies Max\{S_{\triangle OAB}\}=f\left(\cfrac {2\pi}3,\cfrac {\pi}3\right)=\cfrac {3\sqrt{3}}2$ |