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悠闲数学娱乐论坛(第2版) » 初等数学讨论 » 斜率之和为定值

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发表于 2019-3-6 20:57 | 只看该作者

[几何] 斜率之和为定值

以下是个人对一道解析几何：

设点$A(1,3/2)$是椭圆$\varGamma:x^2/4+y^2/3=1$上一点，若过点$B(-2,-3)$的直线交椭圆$\varGamma$不同两点$C$，$D$。
求证：$k_{AC}+k_{AD}（=1）$为定值。

一种方向的猜是

设点$A$是椭圆$\varGamma:x^2/a^2+y^2/b^2=1$上一定点，点$A’$和点$A$关于长轴对称。
点$B$在过$A’$的切线上的定点，过点$B$直线交椭圆$\varGamma$不同两点$C$，$D$。
求证：$k_{AC}+k_{AD}$为定值。

这个猜测用GGB验证是对的，解析上没有算（也不必算，无趣的）。

不知这个猜想会不会有高观下的或二次曲线系下的或简单的解释。

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2^#

发表于 2019-3-6 22:10 | 只看该作者

网上搜索到了解析证明。

类似的《斜率定和积直线过定点——基于2017年全国Ⅰ卷理科第20题的探究》

高考解几下的终结吧：《基于对称元分析法的创新变式研究 ——以2017年高考数学全国Ⅰ卷理科第20题为例》，《2017年高考全国卷I理科数学第20题结论的推广及其简证-该题的结论是《高考数学真题解密》定理6-22的特例》

另外，我个人鼓励将动直线过的定点，设为新的原点，计算是方便很多。

3^#

发表于 2019-3-6 22:27 | 只看该作者

回复 2# isee

看行文应该是 hejoseph 写的

4^#

发表于 2019-3-6 22:33 | 只看该作者

回复 3# kuing

何版啊，他喜欢省略中间计算的，似乎不太像，特别是把椭圆写成$ax^2+by^2=1$，这种写法其实是很个性的。

5^#

发表于 2019-3-6 22:38 | 只看该作者

回复 4# isee

真没搞错，我在电脑里找到了这篇文章

：

QQ截图20190306223727.png

5年前的了。

$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

6^#

发表于 2019-3-6 22:51 | 只看该作者

把另一条切线 BE 作出来，然后连成如下图所示：

QQ截图20190306225013.png

则相当于证明 `AA'`, `AC`, `AE`, `AD` 是调和线束，也就是 `x` 轴上那四个绿色的点调和分割……
极点极线啥的或许有机会用上……

$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

7^#

发表于 2019-3-6 23:01 | 只看该作者

回复 5# kuing

真正的大虾都是这样的淡泊，不留痕迹~

回复 6# kuing

我看了很多线，没注意到这个主轴呢，也许是视角不同，一直在想这个斜率有怎么转化成几何意义。

如果这个也是四点调和有关，那最近，真是和调整点列干上了

8^#

发表于 2019-3-6 23:04 | 只看该作者

突然发现，我最近整的几个解几都是热点的逆命题。

9^#

发表于 2019-3-6 23:08 | 只看该作者

回复 7# isee

变成调和线束（点列）的视角之后，`A`, `A'` 似乎已经不再需要对称了。
也就是说，下图中，`P`, `Q`, `l` 均随意，四条绿线都是调和线束：

QQ截图20190306231621.png

这样的话，斜率之和为定值也不过只是一种特例了。

10^#

发表于 2019-3-6 23:18 | 只看该作者

本帖最后由 isee 于 2019-3-6 23:26 编辑

回复 9# kuing

这个对称其实就是借助椭圆顶点作极点极线之类。

GGB里验证下是的。

也许就和这个类似了：为什么2*MN的斜率-BE的斜率为定值。

---------------------------------------

变成调和线束（点列）的视角之后，`A`, `A'` 似乎已经不再需要对称了。
也就是说，下图中，`P ...
kuing 发表于 2019-3-6 23:08

我大致看过何版的解析证明，这个对称不能随便去掉，也许能去掉，只是结论更复杂些。

11^#

发表于 2019-3-6 23:28 | 只看该作者

回复 10# isee

我的意思是说，纯粹证明调和并不需要对称，调和是更一般的结论，然后当图中 `PA\perp x` 轴时，根据调和就可得出斜率之和为定值。另外，也不需要椭圆为标准椭圆，斜放的也可以。

12^#

发表于 2019-3-6 23:47 | 只看该作者

回复 11# kuing

明白了

13^#

发表于 2019-3-6 23:49 | 只看该作者

斜椭圆验证图

：

斜椭圆一样有斜率之和为定值.gif

$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

14^#

发表于 2019-3-7 00:17 | 只看该作者

回复 9# kuing

9# 的结论证明如下：

QQ截图20190307002456.png

连结 `PQ` 交椭圆于 `E`，直线 `EC`, `PD` 交于 `F`，直线 `ED`, `PC` 交于 `G`，如图所示，也就是椭圆内接完全四边形了，故 `Q`, `F`, `G` 关于椭圆自极，从而 `A`, `G`, `B`, `F` 共线且调和分割，即得证。

$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

15^#

发表于 2019-3-7 00:17 | 只看该作者

回复 13# kuing

9楼的方向完全正确的，因为我刚刚回忆起圆中的调和四边形了。

椭圆仿射成圆，则ADBC为调和四边形，于是（9楼）四条绿线为调和线束。

本是基本知识，只是我们不熟悉罢了。

所以，你的验证也就OK了。

到此差不多就解决了。

16^#

发表于 2019-3-7 00:21 | 只看该作者

回复 14# kuing

对，就是这意思，GGB中的线太多，实在是难看，还是你先解决了。

17^#

发表于 2019-3-7 00:27 | 只看该作者

回复 15# isee

已经解决啦，当 `PA\perp x` 轴时推出斜率之和为定值你会吧？
这些确实是基本东西，对调和啥的还是不够熟练，反应很慢的说……当然线多眼花也是原因之一……

18^#

发表于 2019-3-7 00:32 | 只看该作者

回复 17# kuing

就是10楼中的链接了。

所以，这题还是很综合的。

19^#

发表于 2019-3-7 20:35 | 只看该作者

回复 14# kuing
这个直接用在二次曲线上的点列也可以证明：以6楼的图为例：
为了证明$M,N,P,Q$调和，只要证明$AM,AN,AP,AQ$调和，只要证明$C,D,A',E$调和，只要证明$BC,BD,BA',BE$调和，但是$BC$和$BD$是重和的，这个交比必然是$-1$，所以原点列也是调和的。

20^#

发表于 2019-3-7 21:25 | 只看该作者

回复 19# abababa

abababa 这块进步非常明显呢。

我对二次曲线上的点列仅仅有一点点印象，像你这样慢慢说，是可以懂的，但实质还是要去翻看书（对应章节)

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