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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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初等数学讨论
» 请教一道面积问题
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ddm94858
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发表于 2019-3-6 17:43
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[几何]
请教一道面积问题
已知$O$为坐标原点,圆$M:(x+1)^2+y^2=1$,圆$N:(x-2)^2+y^2=4$,$A,B$分别为圆$M$和圆$N$上的动点,则三角形$OAB$最大值为?
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发表于 2019-3-11 15:16
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发表于 2019-3-11 10:35
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kuing
这个解法更简洁
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发表于 2019-3-10 22:44
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四天后的这帖
http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=5943
嫌弃没有几何法,于是刚才又想了一下,还真想到了一个极其简单的纯平几解法
2019-3-10 22:49
如图,沿长 `AO` 交大圆于 `A'`,因为两圆半径之比为 `2`,从而有 `OA'=2OA`,所以 $\S{OA'B}=2\S{OAB}$,显然当 `\triangle OA'B` 为等边三角形时面积最大,为 `3\sqrt3`,所以 $\max\S{OAB}=3\sqrt3/2$。
而且显然地,改变两圆的半径比也不影响此法的运用。
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业余的业余:
开卷有益。数学是玩出来的。
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发表于 2019-3-6 20:51
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kuing
学习了,多谢
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发表于 2019-3-6 18:52
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当 `B` 取定时,要使面积最大,则 `A` 的位置必须使 `MA\perp OB` 且与 `B` 同侧,如下图所示。
2019-3-6 18:48
设 `\angle AOM=\alpha`,则 `\angle BON=90^\circ-2\alpha`, `\angle AOB=90^\circ+\alpha`, `OA=2\cos\alpha`, `OB=4\sin2\alpha`,故
\[S=4\cos\alpha\sin2\alpha\cos\alpha=8\sin\alpha\cos^3\alpha,\]然后就是常规的均值方法
\[S^2=\frac{64}3(3-3\cos^2\alpha)\cos^2\alpha\cos^2\alpha\cos^2\alpha\leqslant\frac{64}3\left( {\frac34} \right)^4=\frac{27}4,\]即 `S\leqslant3\sqrt3/2`。
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