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[几何] 请教一道面积问题

本帖最后由 ddm94858 于 2019-3-6 17:46 编辑

已知$O$为坐标原点,圆$M:(x+1)^2+y^2=1$,圆$N:(x-2)^2+y^2=4$,$A,B$分别为圆$M$和圆$N$上的动点,则三角形$OAB$最大值为?
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当 `B` 取定时,要使面积最大,则 `A` 的位置必须使 `MA\perp OB` 且与 `B` 同侧,如下图所示。
QQ截图20190306184720.png
2019-3-6 18:48

设 `\angle AOM=\alpha`,则 `\angle BON=90^\circ-2\alpha`, `\angle AOB=90^\circ+\alpha`, `OA=2\cos\alpha`, `OB=4\sin2\alpha`,故
\[S=4\cos\alpha\sin2\alpha\cos\alpha=8\sin\alpha\cos^3\alpha,\]然后就是常规的均值方法
\[S^2=\frac{64}3(3-3\cos^2\alpha)\cos^2\alpha\cos^2\alpha\cos^2\alpha\leqslant\frac{64}3\left( {\frac34} \right)^4=\frac{27}4,\]即 `S\leqslant3\sqrt3/2`。
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

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回复 2# kuing
学习了,多谢

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四天后的这帖 http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=5943 嫌弃没有几何法,于是刚才又想了一下,还真想到了一个极其简单的纯平几解法
QQ截图20190310224913.png
2019-3-10 22:49

如图,沿长 `AO` 交大圆于 `A'`,因为两圆半径之比为 `2`,从而有 `OA'=2OA`,所以 $\S{OA'B}=2\S{OAB}$,显然当 `\triangle OA'B` 为等边三角形时面积最大,为 `3\sqrt3`,所以 $\max\S{OAB}=3\sqrt3/2$。

而且显然地,改变两圆的半径比也不影响此法的运用。
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回复 4# kuing
这个解法更简洁

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无标题3.png
2019-3-11 15:15

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