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[不等式] 证明一个二次型不等式

设 $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ 都是非负实数, 证明
\begin{align*}
&\quad \ (\ \ \ x_1-x_2+x_3+x_4-x_5)x_1\\
&+(-x_1+x_2-x_3+x_4+x_5) x_2\\
&+(\ \ \ x_1-x_2+x_3-x_4+x_5) x_3\\
&+(\ \ \ x_1+x_2-x_3+x_4-x_5) x_4\\
&+(-x_1+x_2+x_3-x_4+x_5)x_5\geq 0.
\end{align*}.
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这个不等式有背景. 我们都知道, 定义在 $\mathbb{R}^n$ 上的二次型, 如果是非负的(也就是在整个空间取非负值), 则二次型是多项式的平方和. 进一步考虑定义在 $\mathbb{R}_{+}^n$ 上的二次型, 如果是非负的(也就是在第一卦限取非负值), 它的代数结构应该是什么样的呢? 一个自然的猜测是: 平方和+正系数多项式. 一楼的不等式就是用来说明这样的结构是不对的. Kuing 的证明中加入了变元的序(假设了最大元或最小元), 也就是说使用了序结构.  进一步的问题是, 如果不使用序结构能否证明一楼的不等式. 更一般的是去探索定义在 $\mathbb{R}_{+}^n$ 上非负的二次型, 它的代数结构应该是什么样子的呢?

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回复 6# yao4015

一楼不等式的纯代数证明:
\begin{align*}
&\quad \ [(\ \  x_1-x_2+x_3+x_4-x_5)x_1\\
&+(-x_1+x_2-x_3+x_4+x_5) x_2\\
&+(\ \ \ x_1-x_2+x_3-x_4+x_5) x_3\\
&+(\ \ \ x_1+x_2-x_3+x_4-x_5) x_4\\
&+(-x_1+x_2+x_3-x_4+x_5)x_5]\\
&\times (x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)=\\
&\quad \ (\ \ \ x_1-x_2+x_3+x_4-x_5)^2x_1\\
&+(-x_1+x_2-x_3+x_4+x_5)^2 x_2\\
&+(\ \ \ x_1-x_2+x_3-x_4+x_5)^2 x_3\\
&+(\ \ \ x_1+x_2-x_3+x_4-x_5)^2 x_4\\
&+(-x_1+x_2+x_3-x_4+x_5)^2x_5\\
&+4(x_1x_2x_4+x_2x_3x_5+x_3x_4x_1\\
&+x_4x_5x_2+x_5x_1x_3)\geq 0.
\end{align*}
这个证明显示出: 正变元的二次型与经典的二次型差别巨大.

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