kuing

由轮换对称性不妨设 `x_5` 为最小者，原不等式可整理为
\[(x_1 - x_2 + x_3 - x_4 - x_5)^2 + 4 (x_1 x_4 + x_3 x_5 - x_4 x_5)\geqslant0,\]显然成立。

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\(\newcommand\phjj{\mathbin{\phantom{+}}}\)
\begin{align*}
&\phjj x_1 (\phjj x_1-x_2+x_3+x_4+x_5-x_6)\\
&+x_2 (-x_1+x_2-x_3+x_4+x_5+x_6)\\
&+x_3 (\phjj x_1-x_2+x_3-x_4+x_5+x_6)\\
&+x_4 (\phjj x_1+x_2-x_3+x_4-x_5+x_6)\\
&+x_5 (\phjj x_1+x_2+x_3-x_4+x_5-x_6)\\
&+x_6 (-x_1+x_2+x_3+x_4-x_5+x_6)\\
={}&(x_1 - x_2 + x_3 - x_4 + x_5 - x_6)^2+4 (x_1 x_4 + x_2 x_5 + x_3 x_6).
\end{align*}
\begin{align*}
&\phjj x_1 (\phjj x_1-x_2+x_3+x_4+x_5+x_6-x_7)\\
&+x_2 (-x_1+x_2-x_3+x_4+x_5+x_6+x_7)\\
&+x_3 (\phjj x_1-x_2+x_3-x_4+x_5+x_6+x_7)\\
&+x_4 (\phjj x_1+x_2-x_3+x_4-x_5+x_6+x_7)\\
&+x_5 (\phjj x_1+x_2+x_3-x_4+x_5-x_6+x_7)\\
&+x_6 (\phjj x_1+x_2+x_3+x_4-x_5+x_6-x_7)\\
&+x_7 (-x_1+x_2+x_3+x_4+x_5-x_6+x_7)\\
={}& (x_1 - x_2 + x_3 - x_4 + x_5 - x_6 - x_7)^2 \\
&+ 4 (x_1 x_4 + x_2 x_5 + x_3 x_6 + x_1 x_6 + x_3 x_7 + x_5 x_7 - x_6 x_7);
\end{align*}
\begin{align*}
&\phjj x_1 (\phjj x_1-x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7-x_8)\\
&+x_2 (-x_1+x_2-x_3+x_4+x_5+x_6+x_7+x_8)\\
&+x_3 (\phjj x_1-x_2+x_3-x_4+x_5+x_6+x_7+x_8)\\
&+x_4 (\phjj x_1+x_2-x_3+x_4-x_5+x_6+x_7+x_8)\\
&+x_5 (\phjj x_1+x_2+x_3-x_4+x_5-x_6+x_7+x_8)\\
&+x_6 (\phjj x_1+x_2+x_3+x_4-x_5+x_6-x_7+x_8)\\
&+x_7 (\phjj x_1+x_2+x_3+x_4+x_5-x_6+x_7-x_8)\\
&+x_8 (-x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6-x_7+x_8)\\
={}& (x_1 - x_2 + x_3 - x_4 + x_5 - x_6 + x_7 - x_8)^2 \\
&+ 4 (x_1 x_4 + x_2 x_5 + x_3 x_6 + x_4 x_7 + x_5 x_8 + x_1 x_6 + x_2 x_7 + x_3 x_8).
\end{align*}
\begin{align*}
&\phjj x_1 (\phjj x_1-x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7+x_8-x_9)\\
&+x_2 (-x_1+x_2-x_3+x_4+x_5+x_6+x_7+x_8+x_9)\\
&+x_3 (\phjj x_1-x_2+x_3-x_4+x_5+x_6+x_7+x_8+x_9)\\
&+x_4 (\phjj x_1+x_2-x_3+x_4-x_5+x_6+x_7+x_8+x_9)\\
&+x_5 (\phjj x_1+x_2+x_3-x_4+x_5-x_6+x_7+x_8+x_9)\\
&+x_6 (\phjj x_1+x_2+x_3+x_4-x_5+x_6-x_7+x_8+x_9)\\
&+x_7 (\phjj x_1+x_2+x_3+x_4+x_5-x_6+x_7-x_8+x_9)\\
&+x_8 (\phjj x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6-x_7+x_8-x_9)\\
&+x_9 (-x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7-x_8+x_9)\\
={}& (x_1 - x_2 + x_3 - x_4 + x_5 - x_6 + x_7 - x_8 - x_9)^2 \\
&+ 4 (x_1 x_4 + x_2 x_5 + x_3 x_6 + x_4 x_7 + x_5 x_8 + x_1 x_6 + x_2 x_7 + x_3 x_8 + x_1 x_8 + x_3 x_9 + x_5 x_9 + x_7 x_9 - x_8 x_9).
\end{align*}

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后面那些乘积的规律其实已经看出来了，只不过要用一般式子表达起来比较麻烦，就懒得写了。

还是回到正途上吧：记 `S=x_1+x_2+\cdots+x_n`（`n\geqslant4`），则原不等式就是
\[x_1(S-2x_n-2x_2)+x_2(S-2x_1-2x_3)+x_3(S-2x_2-2x_4)+\cdots+x_n(S-2x_{n-1}-2x_1)\geqslant0,\]也就是
\[S^2\geqslant4(x_1x_2+x_2x_3+\cdots+x_{n-1}x_n+x_nx_1),\]这实际上是道老题，用数归易证，见《撸题集》P334。

印象中还有一种更巧妙的均值证法，一时想不起来……

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好像是这样：由轮换对称性不妨设 `x_3=\max\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}`，则
\begin{align*}
&4(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4+x_4x_5+x_5x_6+\cdots+x_{n-1}x_n+x_nx_1)\\
\leqslant{}&4\bigl((x_1+x_3)(x_2+x_4)+x_3(x_5+x_6+\cdots+x_n)+x_nx_1\bigr)\\
\leqslant{}&4(x_1+x_3)(x_2+x_4+x_5+x_6\cdots+x_n)\\
\leqslant{}&S^2.
\end{align*}

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