本帖最后由 战巡 于 2019-2-26 12:16 编辑
回复 1# 依然饭特稀
显然我们有
\[a_{n+1}=a_n+2+\frac{1}{a_n}>a_n+2\]
于是有
\[a_n>2n-1\]
但实际上可以更进一步,因为$a_2=4$,对于$n>2$,有$a_n>2n$
另一方面有
\[a_{n+1}-a_n=2+\frac{1}{a_n}\]
\[a_n-a_1=2(n-1)+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{a_k}=2(n-1)+a_1+\sum_{k=2}^{n-1}\frac{1}{a_k}\]
\[a_n=2n+\sum_{k=2}^{n-1}\frac{1}{a_k}<2n+\sum_{k=2}^{n-1}\frac{1}{2k}<2n+\frac{1}{2}\ln(n-1)\]
最终带入$n=2018$会有
\[\sqrt{2·2018}<\sqrt{a_{2018}}<\sqrt{2·2018+\frac{1}{2}\ln(2017)}\]
\[63.5295<\sqrt{a_{2018}}<63.5595\] |