记
\begin{align*}
p &=a+b+c+d,\\
q &=ab+ac+ad+bc+bd+cd,\\
r &=abc+bcd+cda+dab,\\
s &=abcd,\\
A&=a^3+b^3+c^3+d^3,\\
B&=a^3b^3+a^3c^3+a^3d^3+b^3c^3+b^3d^3+c^3d^3,\\
C&=a^3b^3c^3+b^3c^3d^3+c^3d^3a^3+d^3a^3b^3,
\end{align*}则
\begin{align*}
A&=p^3-3pq+3r,\\
B&=q^3-3pqr+3r^2+3p^2s-3qs,\\
C&=r^3-3qrs+3ps^2,
\end{align*}消去 `q`, `r` 得到
\[a_0+a_1p+a_2p^2+\cdots+a_{27}p^{27}=0,\quad(*)\]其中
\begin{align*}
a_0 &= (A^3 - 27 C)^3 + 2187 A^2 (2 A^3 - 9 A B + 27 C) s^3, \\
a_1 &= -243 s^2 (10 A^6-54 A^4 B+432 A^3 C-729 A B C+729 C^2+729 A^2 s^3), \\
a_2 &= 81 A s (4 A^6-27 A^4 B+513 A^3 C-1458 A B C+2916 C^2+2916 A^2 s^3), \\
\cdots&\cdots\text{(略去一大堆)} \\
a_{24}&= 9 A, \\
a_{25}&= 0, \\
a_{26}&= 0, \\
a_{27}&= -1,
\end{align*}设 `\omega` 为三次单位根,由 `\omega^3=1` 可知:
将 `p=a+b+c+d` 改成以下的式子,同样满足式 (*)(这些式子使 `A`, `B`, `C`, `s` 均不变)
`\omega a+\omega b+\omega c+d`、`\omega a+\omega b+c+\omega d`、……(三个 `\omega`,4 条);
`\omega a+\omega^2b+c+d`、`\omega^2a+\omega b+c+d`、……(一个 `\omega` 一个 `\omega^2`,12 条);
`\omega^2a+\omega^2b+\omega^2c+d`、`\omega^2a+\omega^2b+c+\omega^2d`、……(三个 `\omega^2`,4 条);
`\omega a+\omega b+\omega^2c+\omega^2d`、`\omega a+\omega^2b+\omega c+\omega^2d`、……(两个 `\omega` 两个 `\omega^2`,6 条);
以上总共 26 条,连同原本的 `p`,也就是说:
关于 `x` 的方程 `\sum_{k=0}^{27}a_kx^k=0` 的 27 个根就是以上所列,所以
\begin{align*}
a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{27}x^{27}={}&(a+b+c+d-x)\\
&\times(\omega a+\omega b+\omega c+d-x)\cdots\\
&\times(\omega a+\omega^2b+c+d-x)\cdots\\
&\times(\omega^2a+\omega^2b+\omega^2c+d-x)\cdots\\
&\times(\omega a+\omega b+\omega^2c+\omega^2d-x)\cdots,
\end{align*}令 `x=0`,得
\begin{align*}
a_0={}&(a+b+c+d)\\
&\times(\omega a+\omega b+\omega c+d)\cdots\\
&\times(\omega a+\omega^2b+c+d)\cdots\\
&\times(\omega^2a+\omega^2b+\omega^2c+d)\cdots\\
&\times(\omega a+\omega b+\omega^2c+\omega^2d)\cdots,
\end{align*}变个形,把 `a_0` 代回去,即
\[
\frac1{a+b+c+d}=\frac{\begin{aligned}
&(\omega a+\omega b+\omega c+d)\cdots\\
&\times(\omega a+\omega^2b+c+d)\cdots\\
&\times(\omega^2a+\omega^2b+\omega^2c+d)\cdots\\
&\times(\omega a+\omega b+\omega^2c+\omega^2d)\cdots
\end{aligned}}{(A^3 - 27 C)^3 + 2187 A^2 (2 A^3 - 9 A B + 27 C) (abcd)^3},
\quad(**)
\]接下来继续化简上式的分子,由
\begin{align*}
(\omega a+\omega b+\omega c+d)(\omega^2a+\omega^2b+\omega^2c+d)
&=\omega^3(a+b+c)^2+(\omega+\omega^2)(a+b+c)d+d^2\\
&=(a+b+c)^2-(a+b+c)d+d^2,\\
(\omega a+\omega^2b+c+d)(\omega^2a+\omega b+c+d)
&=\omega^3(a^2+b^2)+(\omega^2+\omega^4)ab+(\omega+\omega^2)(a+b)(c+d)+(c+d)^2\\
&=a^2+b^2-ab-(a+b)(c+d)+(c+d)^2,\\
(\omega a+\omega b+\omega^2c+\omega^2d)(\omega^2a+\omega^2b+\omega c+\omega d)
&=\omega^3(a+b)^2+(\omega^2+\omega^4)(a+b)(c+d)+\omega^3(c+d)^2\\
&=(a+b)^2-(a+b)(c+d)+(c+d)^2,
\end{align*}可知式 (**) 的分子化为
\begin{align*}
&\bigl((a+b+c)^2-(a+b+c)d+d^2\bigr)\\
&\times\bigl((a+b+d)^2-(a+b+d)c+c^2\bigr)\\
&\times\bigl((a+c+d)^2-(a+c+d)b+b^2\bigr)\\
&\times\bigl((b+c+d)^2-(b+c+d)a+a^2\bigr)\\
&\times\bigl(a^2+b^2-ab-(a+b)(c+d)+(c+d)^2\bigr)\\
&\times\bigl(a^2+c^2-ac-(a+c)(b+d)+(b+d)^2\bigr)\\
&\times\bigl(a^2+d^2-ad-(a+d)(b+c)+(b+c)^2\bigr)\\
&\times\bigl(b^2+c^2-bc-(b+c)(a+d)+(a+d)^2\bigr)\\
&\times\bigl(b^2+d^2-bd-(b+d)(a+c)+(a+c)^2\bigr)\\
&\times\bigl(c^2+d^2-cd-(c+d)(a+b)+(a+b)^2\bigr)\\
&\times\bigl((a+b)^2-(a+b)(c+d)+(c+d)^2\bigr)\\
&\times\bigl((a+c)^2-(a+c)(b+d)+(b+d)^2\bigr)\\
&\times\bigl((a+d)^2-(a+d)(b+c)+(b+c)^2\bigr).
\end{align*} |