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[函数] 一道复数方程题

复数$a,b,c$满足$a\not=0$,方程$ax^2+bx+c=0$的两根模长均小于1.
求证$(a+\bar{c})x^2+(b+\bar{b})x+(c+\bar{a})=0$的根的模长等于1.
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本帖最后由 业余的业余 于 2019-3-3 03:47 编辑

回复 1# 郝酒

$\begin{align}
(a+\bar{c})x^2+(b+\bar{b})x+(c+\bar{a}) &=0\notag\\
\implies (a+\bar{c})|x|^2x+(b+\bar{b})|x|^2+(c+\bar{a})\bar{x}&=0\\
\implies (\bar{a}+c)|x|^2\bar{x}+(b+\bar{b})|x|^2+(\bar{c}+a)x&=0 \end{align}$

(1)-(2), 有,
$2(|x|^2-1)Re\{x(a+\bar{c})\}=0$

如果能说明 $Re\{x(a+\bar{c})\}\ne 0$, 所求得证。

题目给出的条件似乎还不够完整,比如如果 $c=0$, 显然 $x=0$ 是两个方程的根,但不满足模长等于 $1$.

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回复 2# 业余的业余

c=0,x=0并不满足原方程啊

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回复 3# 色k

对,不满足第二个

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本帖最后由 业余的业余 于 2019-3-3 10:32 编辑

回复 2# 业余的业余

假设 $Re\{x(a+\bar{c})\}=0$,且 $|x|^2\ne 1$,  而显然 $x\ne 0$, 则 $x(a+\bar{c})$ 为纯虚,不妨记其为 $ki, (k\ne 0)$。(1) 式变形为
$$(|x|^2-1)ki+(b+\bar{b})|x|^2=0$$
显然有 $|x|=1$, 假设不成立,或者 $Re\{x(a+\bar{c})\}\ne 0 $ 或者 $|x|=1$。两种情况都指向 $|x|=1$. 命题得证。

上面的证明隐含地使用了 $a+\bar{c}\ne 0$。由第一个方程和韦达定理有 $x_1x_2=\cfrac ca$, 由题设两个根的模都小于 $1$ 知 $|c|<|a|$, 则 $a+\bar{c}\ne 0$.

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2楼的2应该不成立,1楼是方程系数是复数,那么根就不是一对共轭复根.
只有实系数2次方程才是一对共轭复根.

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2楼的2应该不成立,1楼是方程系数是复数,那么根就不是一对共轭复根.
只有实系数2次方程才是一对共轭复根. ...
realnumber 发表于 2019-3-4 14:08

(2)是对(1)的等式两边取共轭

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回复 7# kuing


    哦,我看错了

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回复 3# 色k


    为什么不满足原方程啊,觉得也可能啊,c=0,一根是0,一根是-b/a.又2楼Re要修改为Im

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本帖最后由 业余的业余 于 2019-3-5 05:30 编辑

对,是 Im。

太乱, 二楼重新搬过来,还是没证出来,一些分析吧。

$\begin{align}
(a+\bar{c})x^2+(b+\bar{b})x+(c+\bar{a}) &=0\notag\\
\implies (a+\bar{c})|x|^2x+(b+\bar{b})|x|^2+(c+\bar{a})\bar{x}&=0\\
\implies (\bar{a}+c)|x|^2\bar{x}+(b+\bar{b})|x|^2+(\bar{c}+a)x&=0 \end{align}$

$(3)-(4)$, 有

$2(|x|^2-1)Im\{x(a+\bar{c})\}=0 $

$x(a+\bar{c})$ 虚部不为零的情况下显然 $|x|=1$ 成立。现分析其虚部为零,即其为实数的情形。由 $ (3) $


$|x|=1 \iff 2(a+\bar{c})x+(b+\bar{b})=0 \iff  x=-\cfrac{b+\bar{b}}{2(a+\bar{c})} \iff \text{方程} (a+\bar{c})x^2+(b+\bar{b})x+(c+\bar{a})=0 \text{ 有两等根}$

如果两个 $x_1, x_2 (|x_1|<|x_2|)$ 都能使 $ Im\{(a+\bar{c})x\}=0$, 那么它们的辐角相同,有 $x_2=kx_1 ( k> 1)$。又 $|x_1x_2|=\left|\cfrac {c+\bar{a}}{a+\bar{c}}\right|=1\implies |x_1|<1 , |x_2|>1.$ 由韦达定理,有

$\begin{align*}
x_1+kx_1=-\cfrac {b+\bar{b}}{a+\bar{c}}\\
x_1\cdot kx_1=kx_1^2=\cfrac{c+\bar{a}}{a+\bar{c}}
\end{align*}$

$x_1=-\cfrac {(1+k)(c+\bar{a})}{k(b+\bar{b})}$  

如何利用第一个方程两根的模都小于 $1$ 推出 $|x_1|\ge1$ 的矛盾呢?

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