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[函数] 函数极值点偏移问题

函数$ f(t)=\frac{e^{2t}+e^t}{2e^t+t} $满足$f(m)=f(n)$,$m,n$互不相等,证明:$m+n>0$
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用最常规的套路就行了啊,证明 `f(t)<f(-t)`(其中 `t>0` 且满足 `f(-t)>0`)

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回复 2# kuing
也是这么想的,就是高手说的那个不等式目前没有证明出来。

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回复 3# 敬畏数学
没什么难度呀,只是一些简单的计算。
首先为方便起见令 `t=\ln x`, `x>1`,则
\[f(-t)-f(t)=\frac{x+1}{x(2-x\ln x)}-\frac{x(x+1)}{2x+\ln x}=\frac{(x+1)\bigl(2x(1-x)+(x^3+1)\ln x\bigr)}{x(2-x\ln x)(2x+\ln x)},\]即证
\[\ln x>\frac{2x(x-1)}{x^3+1},\]利用已知结论得
\[\ln x>\frac{2(x-1)}{x+1}=\frac{2x(x-1)}{x^2+x}>\frac{2x(x-1)}{x^3+1}.\]即得证。

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回复 4# kuing
.Thanks.

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回复 6# 敬畏数学

这题是真偏移,那边那题是假偏移,套路完全不同,怎算类似?

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又看到一个类似:$ f(x)=\frac{e^x(x^2-2x-1)}{x},x>0,$且$ f(m)+f(n)=-4e $,则:$ m+n\geqslant 2 $。同样套路,即证:$ f(m)+f(2-m)\leqslant-4e,0<m\leqslant 1 , $即证:$ e^m(\frac{1}{m}+2-m)+e^{2-m}(\frac{1}{2-m}+m)\geqslant 4e $,那么用基本不等式即可证得此不等式显然成立。

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回复 8# 敬畏数学

2019年深一模,理科,且仅是主体部分。

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本帖最后由 敬畏数学 于 2019-2-27 09:16 编辑

$ f(x)=lnx+x^2+x $,正数$ m,n $满足$ f(m)+f(n)+mn=0 $,则:$ m+n\geqslant \frac{\sqrt{5}-1}{2} $终于逮到一只真正的假偏移。$(m+n)^2+(m+n)=mn-ln(mn)≥1$即可。

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