[不等式] 疑惑，最后不等号反向了

力工

渣的目的为了不用$Schur$做：已知$a,b,c>0,a+b+c=3$，证明：$abc+\dfrac{48}{ab+bc+ca+3}\geqslant 9$.
见题的第二印象，还可以用$"pqr"$，但不知道能不能搞破，没动手。只想从最基本的东西出发来搞：
由$(a+b+c)^3=(a^3+bc^2+b^2c)+b^3+c^3+3a^b+3a^c+2(bc^2+b^2c)+3(ab^2+ac^2)+6abc)
\geqslant 9abc+2ab(3-c)+2bc(3-a)+2ca(3-b)+6abc=9abc+6(ab+bc+ca)$,
这样，$ab+bc+ca\leqslant \dfrac{9-3abc}{2}$,
显然$0<abc\leqslant 1$
这样，$abc+\dfrac{48}{ab+bc+ca+3}\geqslant abc+\dfrac{96}{15-3abc}$
噢特了，上面是关于$abc$的增函，变成了$\leqslant 9$.

kuing

这就说明你的放缩已经过度呗
用 schur 有啥不好？用 schur 得到的是 ab+bc+ca<=(3abc+9)/4，比你得到的强多了。

力工

大神，叛逆心理啊，别人都用，我偏不想用，只是没能力做好回复 2# kuing

kuing

回复 3# 力工

那用固定一个，调整另外两个的方法应该也是可以的，大概步骤：
不妨设 a 是最小者，设 bc=t，分母写成 a(3-a)+t+3，去分母后变成 t 的二次函数，证明递减，就只需证 b=c 时，即 t=(3-a)^2/4 时，代入分解完事。
具体过程就不码了，你自己玩……