渣的目的为了不用$Schur$做:已知$a,b,c>0,a+b+c=3$,证明:$abc+\dfrac{48}{ab+bc+ca+3}\geqslant 9$.
见题的第二印象,还可以用$"pqr"$,但不知道能不能搞破,没动手。只想从最基本的东西出发来搞:
由$(a+b+c)^3=(a^3+bc^2+b^2c)+b^3+c^3+3a^b+3a^c+2(bc^2+b^2c)+3(ab^2+ac^2)+6abc)
\geqslant 9abc+2ab(3-c)+2bc(3-a)+2ca(3-b)+6abc=9abc+6(ab+bc+ca)$,
这样,$ab+bc+ca\leqslant \dfrac{9-3abc}{2}$,
显然$0<abc\leqslant 1$
这样,$abc+\dfrac{48}{ab+bc+ca+3}\geqslant abc+\dfrac{96}{15-3abc}$
噢特了,上面是关于$abc$的增函,变成了$\leqslant 9$. |