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[函数] 前些天减压群的一道趣题——单车轨迹

话说十日前减压群内:
生如夏花(2365*****) 22:21:27
轮1.jpg
2019-2-21 17:19

看到一个有趣的问题 :这是一辆自行车,前后轮在地面留下的轨迹,那么该自行车是从左往右运动还是从右往左运动的?

解法在下面,不过我建议你先试试判断一下,再往下拉。
















小色k 22:34:32
先由大概判断较弯的是前轮,后轮线的切线与前轮线的交点等于两轮心的距离,所以作几条切线看与哪边方向的交点长度为定值,就是哪个方向
小色k 22:31:11
轮2.jpg
2019-2-21 17:19

这样看应该是从右往左吧

原题解决了,当然了,如果这样就完了我也懒得发帖,现在发自然是有后续。

按照此方法,如果知道后轮线方程以及轮心距,则不难求出前轮线方程,下面来试试。

假设后轮线由参数方程 $\led x&=x(t),\\ y&=y(t),\endled$(`t` 为参数)给出,设其上一点 `P\bigl(x(t),y(t)\bigr)`,则 `P` 处切线的方向向量为 `\bigl(x'(t),y'(t)\bigr)`,于是切线的参数方程为
\[\led
x&=x(t)+\frac{x'(t)}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}u,\\
y&=y(t)+\frac{y'(t)}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}u,
\endled\text{($u$ 为参数)}\]
这是标准式的直线参数方程,`u` 的几何意义就是线段长,所以,若记轮心距为 `a`,那么当 `u=a` 或 `-a` 时的点就在前轮线上,也就是说,前轮线的参数方程就是
\[\led
x&=x(t)+\frac{x'(t)}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}a,\\
y&=y(t)+\frac{y'(t)}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}a,
\endled~\text{或}~\led
x&=x(t)-\frac{x'(t)}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}a,\\
y&=y(t)-\frac{y'(t)}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}a,
\endled\text{($t$ 为参数)}\]
两种结果分别对应两种不同的行车方向。

举两个栗子:

(1)已知后轮线为 `y=\sin x`,轮心距为 `1`,且车由左往右行驶,则前轮线为
\[\led
x&=t+\frac1{\sqrt{1+\cos^2t}},\\
y&=\sin t+\frac{\cos t}{\sqrt{1+\cos^2t}}.
\endled\text{($t$ 为参数)}\]

(2)已知后轮线为椭圆 `x^2/a^2+y^2/b^2=1`(`a`, `b>0`),轮心距为 `1`,且车逆时针行驶,则前轮线为
\[\led
x&=a\cos t+\frac{-a\sin t}{\sqrt{a^2\sin^2t+b^2\cos^2t}},\\
y&=b\sin t+\frac{b\cos t}{\sqrt{a^2\sin^2t+b^2\cos^2t}}.
\endled\text{($t$ 为参数)}\]

来用几何画板演示一下这两个栗子,下面两图中,蓝色线为前轮线,由参数方程 `x=g(t)`, `y=h(t)` 给出。
(1)
sinx.gif
2019-2-21 17:19

(2)
椭圆.gif
2019-2-21 17:19



然而,若反过来,给出前轮线,求后轮线,恐怕求不出来,因为反解一般都解不出,举个很简单的情况,假设前轮线是 `y=x^2` 且轮心距 `a=1`,那么求后轮线就是求一个 `x(t)`, `y(t)` 使得
\[y(t)+\frac{y'(t)}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}=\left(x(t)+\frac{x'(t)}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}\right)^2,\]
假设后轮线可以写成显式函数 `y=y(x)`,那么上式就可以写成
\[y+\frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}}=\left(x+\frac1{\sqrt{1+y'^2}}\right)^2,\]
这个微分方程恐怕难以解出……

连 `y=x^2` 都解不了,可见一般情况就不用想了,大概也就一些最简单的情况或许可以求求,比如直线,圆之类的。

下面来试求一个最最简单的情形:初始时,前轮在原点,后轮在 `(0,1)`,现在让前轮沿 `x` 轴正方向移动,求后轮线。

按照上述结果,只需解如下微分方程
\[y+\frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}}=0,\]
根据实际情况反解出 `y'` 后可以整理为
\[
\rmd x=-\frac{\sqrt{1-y^2}}y\rmd y,
\]
积分得
\[x=\ln\frac{1+\sqrt{1-y^2}}y-\sqrt{1-y^2}+C,\]
由初始值可知 `C=0`。

几何画板演示:
最简单情形.gif
2019-2-21 17:19
分享到: QQ空间QQ空间 腾讯微博腾讯微博 腾讯朋友腾讯朋友
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回复 1# kuing
NNN。。。

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有道理.

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[讨论] 求自行车的轨迹
https://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=5809
giration_loi-sinus.gif
2019-2-21 17:50

已知后轮运动轨迹求前轮运动轨迹的这类问题在国外叫做Tractoire
http://fr.wikipedia.org/wiki/Tractoire

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回复 1# kuing
【知乎专栏】啥?不需要积分可以求出函数面积 Mamikon定理
https://zhuanlan.zhihu.com/p/39154109
还有一个比较有趣的性质:
area101.png
2019-2-21 18:17

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神奇的世界,明明是前轮决定了后轮,但是反而是从后轮轨迹好找前轮轨迹,反之则难

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回复 5# 青青子衿

不瞒你说,正在想这个问题

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回复 5# 青青子衿

学习鸟嘛,这类问题被研究过也是意料之中……
踩单车十几年,都没思考过这些问题唉……

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是呀,再次想到创造力与教育的问题

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回复 5# 青青子衿

这个性质感觉跟祖X原理很像,或许就是一类东西……
(那字不会打)

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回复 5# 青青子衿

最简单的例子就是同心圆,圆环面积,大圆半径平方减去小圆半径平方是车长

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回复 1# kuing

有意思~

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学习,涨姿势。数学无处不在。

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突然让我想起一本书的封面
Which Way Did the Bicycle Go, And Other Intriguing Mathematical Mysteries
dmop.jpg
2019-2-22 00:36

Which Way Did the Bicycle Go 趣题选(上)
http://www.matrix67.com/blog/archives/3113

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为了玩这个搞得人精疲力尽!

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