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[不等式] 幂指不等式链

对\(\forall a,b\in(0,1]\)
\[ \left(a+b\right)^{\frac{a+b}{2}}\leqslant\frac{\left(a+b\right)^a+\left(a+b\right)^b}{2}\leqslant a^b+b^a  \]
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左边是均值不等式。右边不会

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回复 2# 业余的业余

俺也来保持队形一下:
当 `a+b\geqslant1` 时显然 `\dfrac{(a+b)^a+(a+b)^b}2\leqslant\dfrac{(a+b)+(a+b)}2=a+b\leqslant a^b+b^a`,当 `a+b<1` 时,不会

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原来另一种情况也是简单的:
当 `a+b<1` 时显然 `\dfrac{(a+b)^a+(a+b)^b}2<\dfrac{1^a+1^b}2=1`,而 `a^b+b^a>1` 是已知结论,所以不等式成立!

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回复 4# kuing

试了下,不得其法,请问$ a^b+b^a>1 $ 怎样证明?

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回复 5# 业余的业余

参考下,帖子地址忘了记下来了,好在证明过程在.
四个幂指数不等式的证明以及否定.doc (235.5 KB)
指数不等式n=3,4-5修改000.doc (283.5 KB)
共同点是就Bernoulli不等式一招,很容易让人产生这样想法,就这够了?

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回复  业余的业余

参考下,帖子地址忘了记下来了,好在证明过程在.

共同点是就Bernoulli不等式一招, ...
realnumber 发表于 2019-2-15 07:29

谢谢!伯努利不等式只粗粗见过一两次,确实陌生得很。 不等式门道深如海,让人望而生畏

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