有理数的疑问

rickyyeungyung

这是百度对有理数的定义, 有理数是一个整数a和一个正整数b的比.为何一定要是整数呢?

业余的业余

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这是最简的定义。有限个有理数和有理数的乘积/比也是有理数，只要不出现分母为 $0$ 的情况。而且用有理数定义有理数是无必要的循环定义。

要完整得理解这些东西，最好对数学分析的基础有一些了解。

以下不是人类认识数的历史，但我们假设有一类人这么开始认识数（其实重要的是，当你对数的基本运算有了一些了解，要从头了解数的源流、关系，正如你目前在做的一样时，这是一个非常符合逻辑的演化过程)：

首先是自然数，用来数门前有多少颗树，今天捕猎了多少头牲畜，等。自然数是 $0,1,2....$, 对自然数，一个最自然的运算是加法。自然数 $a$ 和 $b$ 的和 $c$ 还是自然数。问题来了，如果我们知道了 $c$ 和 $a$, 要找对应的 $b$, 怎么办？ 于是有了减法，有了减法就产生了负数---当 $a$ 比 $c$ 还大，问题在自然数里面没有合法解，人类的智者不满足于这个问题无解这样的简单结论，于是数从自然数扩展到了整数。

运用加法时会出现连加的情形 $a+a+\cdots+a$, 连续 $n$ 个 $a$ 相加，这种情形经常发生，人类的智者决定给它一个名字，定义 $n$ 个 $a$ 相加为 $n\times a$, 于是有了乘法。两个整数的乘积是还是整数。同样的问题，在求解乘法的逆运算问题时，人类的智者发现整数又不够用了，比如 $5/3$, 没有任何整数 $n$ 满足 $3\times n=5$, 于是数的概念扩大到了 有理数， 它是 两个整数的商，或曰比值。我们注意到一个规律，新类型的数由已有的类型的数来定义。只有自然数是整个数的大厦的基础，它由皮亚诺公理体系来定义。

这个故事还可以继续。

同一个有理数的连续乘积，比如正方形的面积，正方体的体积等，诱导人类的智者定义幂、指数运算。幂运算的逆运算，开平方，开立方等问题又导致数学家发现有理数不够用了。求解类似 “正方形的面积为 $2$, 其边长为何？”的问题时，我们发现没有一个有理数可以满足 $x^2=2$。这是一个经典的反证法应用的问题，我想你应该会知道。于是，数的概念扩大到了实数。

故事还没有结束，之后还有复数。实际上 方阵 (square matrix) 也有很多类似数的性质，比如可以定义 $A_n$ 的幂运算，甚至可以定义 $e^{A_n}$, 相应的 $A_n$ 的多项式，三角函数等等...

zhcosin

因为有理数的历史起源是原始部落中多人平分有限的食物等资源。