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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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初等数学讨论
» 一道拉格朗日乘数法的小菜,估计有不等式妙解
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发表于 2019-2-1 00:58
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只看该作者
[不等式]
一道拉格朗日乘数法的小菜,估计有不等式妙解
求 $ f(x,y,z)=\sum_{cyc} xy$ 的最大值,满足约束条件 $x^2+3y^2+3z^2=1$ 且 $x,y,z >0$.
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kuing
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发表于 2019-2-1 01:30
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只看该作者
有两个系数相同,那是很简单的,直接目测凑均值都行:`(0.5x^2+2y^2)+(0.5x^2+2z^2)+(y^2+z^2)\ge2f`。
如果三个系数都不同,那凑均值就需要待定系数计算一下了,最终需要解三次方程,反正早就被玩烂了……
see also:
http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=5462
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发表于 2019-2-1 23:20
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只看该作者
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2#
kuing
这么简单?
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发表于 2019-2-4 17:38
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只看该作者
先拉一下,再配方:
因为$xy+yz+zx-\dfrac12(x^2+3y^2+3z^2)=-(\dfrac12x-y)^2-(\dfrac12x-z)^2-\dfrac12(y-z)^2\leqslant0$,
所以,$xy+yz+zx\leqslant\dfrac12(x^2+3y^2+3z^2)=\dfrac12$.
等号能取到吧?没验证了。
要不,搞一下判别式也行。
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