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[函数] 指对数函数混合含参问题

$ f(x)=xe^{-x}ln\frac{x+1}{2}+\frac{3}{4}e^x,g(x)=\frac{1}{2}xe^x-a(x-2) $,当$ 0\leqslant x\leqslant 1 $时,$ f(x)<g(x) $,求实数a的范围。谢谢!
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函数太丑,不撸也罢……

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咳,画图看了看发现最丑的那块(也就是混合那项)其实完全是多余的,纯粹是为了吓人坑人(抄错题除外)……
$ f(x)=xe^{-x}ln\frac{x+1}{2}+\frac{3}{4}e^x,g(x)=\frac{1}{2}xe^x-a(x-2) $,当$ 0\leqslant x\leqslant 1 $时,$ f(x)<g(x) $,求实数a的范围。谢谢!
敬畏数学 发表于 2019-1-23 12:02

首先代 `x=1` 有 `3e/4<e/2+a`,即 `a>e/4`,下面证明:当 `a=e/4` 时 `f(x)\leqslant g(x)`。

因为当 `x\in[0,1]` 时 `\ln\frac{x+1}2\leqslant0`,所以只需证
\[\frac34e^x\leqslant\frac12xe^x-\frac e4(x-2),\]
令 `x=1-t`, `t\in[0,1]`,不难将其化简为
\[1+2t\leqslant(1+t)e^t,\]
由 `e^t\geqslant1+t` 可知上式显然成立。

综上可知 `a` 的范围就是 `(e/4,+\infty)`。

太没意思鸟……还是最初的判断准确——不撸也罢……

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这种题凭往往是试卷上的,我也是非常头大这种题入手点窄。

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本帖最后由 敬畏数学 于 2019-1-24 21:17 编辑

两边乘以$e^x$,变形为:$ \frac{1}{4}(2x-3)e^{2x}-a(x-2)e^x>xln\frac{1}{2}(x+1) $,显然右边的式子$g(x)\leqslant 0=g(0)=g(1)$,左边的式子设h(x)=$ \frac{1}{4}(2x-3)e^{2x}-a(x-2)e^x,0\leqslant x\leqslant 1 $,$\frac{d(h(x)}{dx}=e^x(x-1)(e^x-a)$;
(1)$ a\geqslant e $时,$ h(x)|min=h(0)>0 $;(2)$1<a<e $时,$ h(x)|min=min{h(0),h(1)}>0 $,(3)$\frac{e}{4}<a\leqslant 1 $时,$ h(x)|min=h(0)>0 $,(5)$a\leqslant \frac{e}{4} $时,$ h(x)|min=h(1)\leqslant 0=g(1)$,不合题意。综上:a的范围为$(\frac{e}{4},+\infty )$。

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