咳,画图看了看发现最丑的那块(也就是混合那项)其实完全是多余的,纯粹是为了吓人坑人(抄错题除外)……
$ f(x)=xe^{-x}ln\frac{x+1}{2}+\frac{3}{4}e^x,g(x)=\frac{1}{2}xe^x-a(x-2) $,当$ 0\leqslant x\leqslant 1 $时,$ f(x)<g(x) $,求实数a的范围。谢谢!
敬畏数学 发表于 2019-1-23 12:02
首先代 `x=1` 有 `3e/4<e/2+a`,即 `a>e/4`,下面证明:当 `a=e/4` 时 `f(x)\leqslant g(x)`。
因为当 `x\in[0,1]` 时 `\ln\frac{x+1}2\leqslant0`,所以只需证
\[\frac34e^x\leqslant\frac12xe^x-\frac e4(x-2),\]
令 `x=1-t`, `t\in[0,1]`,不难将其化简为
\[1+2t\leqslant(1+t)e^t,\]
由 `e^t\geqslant1+t` 可知上式显然成立。
综上可知 `a` 的范围就是 `(e/4,+\infty)`。
太没意思鸟……还是最初的判断准确——不撸也罢…… |