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悠闲数学娱乐论坛(第2版) » 初等数学讨论 » 正方形内光线走的路程

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发表于 2019-1-19 18:51 | 只看该作者

[几何] 正方形内光线走的路程

边长为7的的正方形，M在AB上，N在BC上，AM=BN=3,光线从M到N,遇到正方形的边反弹，则光线第一次回到M点时，光线走的路程？

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2^#

发表于 2019-1-19 19:45 | 只看该作者

对称法呗，即研究直线 `y=\frac34(x-3)` 经过最近的 `(14n\pm3,14m)`（`n`, `m` 为正整数）这样的点的距离，代入化简即 `4m=3n` 或 `28m=21n-9`，前者最小正整数解显然为 `n=4`, `m=3`，后者无解，所以最近的就是 `(59,42)`，路径为 `\sqrt{56^2+42^2}=70`。

图示如下：
QQ截图20190119215304.png

QQ截图20190119215304.png

$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

3^#

发表于 2019-1-19 21:18 | 只看该作者

看到这个就想起人教BBS的繁华

4^#

发表于 2019-1-19 21:31 | 只看该作者

回复 3# isee

那边最近又好久不能打开了，也不知会不会再开……
当年那边是有讨论过的，那时我好像是因为心情不好没怎么看，没收藏，所以也就没存档了……

5^#

发表于 2019-1-19 22:10 | 只看该作者

更新了一下 2# 的图，补上了反射路线及对应颜色（几何画板的默认颜色都快用光了）。

6^#

发表于 2019-1-25 19:15 | 只看该作者

同感，繁华之后的落寞。惆怅

7^#

发表于 2019-1-26 14:31 | 只看该作者

真佩服kk，这么复杂的图都画得出来！即便知道对称是这两类问题的方法，但也没有耐心一次次的对称下去！此图堪比证明三角形的内接三角形的周长最小的那个图！
有个疑问，如果M点N点变一下，光线多次反射后是不是一定可以归到M点？

8^#

发表于 2019-1-26 14:57 | 只看该作者

回复 7# 其妙

当然不一定啊，比如改成 `BN=\pi` 肯定无解

限制为有理点还值得扯扯

9^#

发表于 2019-1-26 15:07 | 只看该作者

回复其妙

当然不一定啊，比如改成 `BN=\pi` 肯定无解限制为有理点还值得扯扯 ...
kuing 发表于 2019-1-26 14:57

那再研究下边长为为定值a的正方形，M、N满足什么条件可以再光线反射若干次又回到M点？反射次数的表达式能否写出？反正我是搞不出来了！

10^#

发表于 2019-1-26 15:09 | 只看该作者

有闲情再说

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