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[几何] 题目初看简单,而笔者证法颇繁,望(尽量不要平几)简证

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2019-1-17 22:29

如图,双曲线Γ焦点A、B,左顶点E。于Γ右支取点D,作三角形ABD。作∠ADB平分线DF,AF垂直FD,连接EF。
证明:∠DAB=2∠EFA

该题是一高中同学原创题(probably not),感觉难度小于高考(jiangsu)填空压轴题。该同学提供“到角公式暴解”法,不予展示。

笔者解法:
引理:左焦点向右支切线所作垂线之垂足于定圆上,且其直径为双曲线长轴(证明略)
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2019-1-17 22:29

如图添辅助线(红线)
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2019-1-17 22:29

显然∠ADF=∠BDF,∠DBH=∠ABH(因两条切线)
得焦点三角形内心H,故∠DAH=∠GAH
由引理,∠EFG=90°,故∠AFE=∠HFG
因∠HGA=∠HFA=90°,故(HGFA)
则2∠HFG=2∠HAG=∠DAB
证毕
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无标题.png
2019-1-18 10:40


“平几”不就是“平面几何”吗?平面解析几何?

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回复 2# 游客
无标题.png
2019-1-18 11:46

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回复 3# 游客

这个小证,作 `A` 关于切线的对称点 `A'` 不就可以了么(1#的引理也是这样证的)

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回复 4# kuing


    嗯,没注意到

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