如图,双曲线Γ焦点A、B,左顶点E。于Γ右支取点D,作三角形ABD。作∠ADB平分线DF,AF垂直FD,连接EF。
证明:∠DAB=2∠EFA
该题是一高中同学原创题(probably not),感觉难度小于高考(jiangsu)填空压轴题。该同学提供“到角公式暴解”法,不予展示。
笔者解法:
引理:左焦点向右支切线所作垂线之垂足于定圆上,且其直径为双曲线长轴(证明略)
如图添辅助线(红线)
显然∠ADF=∠BDF,∠DBH=∠ABH(因两条切线)
得焦点三角形内心H,故∠DAH=∠GAH
由引理,∠EFG=90°,故∠AFE=∠HFG
因∠HGA=∠HFA=90°,故(HGFA)
则2∠HFG=2∠HAG=∠DAB
证毕 |