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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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» 一道初中几何综合题
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wzyl1860
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发表于 2019-1-16 10:05
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[几何]
一道初中几何综合题
2019-1-16 10:05
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kuing
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发表于 2019-1-16 14:39
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我发现我平几越来越渣了,看了半天都想不出简单方法,只会 暴 力 计算……
2019-1-16 14:34
如图,设圆半径为 `r`,则 `r=a+x`,由梅氏定理有
\[\frac ax\cdot\frac ry\cdot\frac br=1\iff xy=ab,\](也可由 `a:x=\sin\angle FBA:\sin\angle FBC=\sin\angle BED:\sin\angle FBC=y:b` 得到 `xy=ab`)
由割线定理有
\[(y-r)y=b(b+2r),\]
故
\[\left( \frac{ab}x-a-x \right)\frac{ab}x=b(b+2a+2x),\]
去分母并因式分解得
\[(x+a)(2x^2+ax+bx-ab)=0,\]
解得
\[x=\frac{\sqrt{a^2+10ab+b^2}-a-b}4,\]
此题中 `a=3`, `b=3/2`,代入得 `x=3/4`。
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发表于 2019-1-16 14:40
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本帖最后由 isee 于 2019-1-16 15:16 编辑
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wzyl1860
题:已知正三角形$ABC$,点$D$在$BC$延长线上,连接$AD$,$E$为$AD$上一点,$AE=AC$,连接$BE$交$AC$于$F$,若$AF=2ED=3$,则线段$CF$的长为_____.
解:
不将就初中
,设$BD=a$,$CF=x$,则$AE=AC=AB=BC=x+3$,在三角形$ABD$中用余弦定理有$$\left(x+\frac 92\right)^2=(x+3)^2+a^2-(x+3)a,$$(初中就作出三角形$ABC$边$BC$上的高,垂直为$G$,在三角形$AGD$中用勾股定理).
在三角形$ACD$中,由 Melelaus 定理(否则,过点$D$之类,作$AC$平行线交$BE$延长线于$G$,由平行,相似)求得$$\frac a{x+3}\cdot\frac x3\cdot\frac {x+3}{3/2}=1\Rightarrow a=\frac 9{2x},$$
于是$$\left(x+\frac 92\right)^2=(x+3)^2+\left(\frac 9{2x}\right)^2-(x+3)\cdot \frac 9{2x},$$整理得$$4x^3+21x^2+18x-27=0,$$此方程经过观计算,发现有一根为$x=-3$(如何猜的呢,如果$x$是整数,则$x$定是 3 的倍数,总之运气成份居多),于是可变形为$$(x+3)^2(4x-3)=0,\cdots$$
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kuing
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发表于 2019-1-16 14:44
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发表于 2019-1-16 14:45
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kuing
我也想不到几何法,算知道结果就算了一下,反正要算,所以就发了。
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发表于 2019-1-16 16:05
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就是计算题呀,梅氏定理和相交弦定理(延长EA得到圆内接四边形).
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wzyl1860
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发表于 2019-1-17 12:29
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2019-1-17 14:31
这答案给得有点扯淡
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发表于 2019-1-17 14:27
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按2楼推理,应有:
BD=y=ab/x=2x+a+b=x+(x+a+b)=CF+AD.
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发表于 2019-1-17 14:47
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按2楼推理,应有:
BD=y=ab/x=2x+a+b=x+(x+a+b)=CF+AD.
2019-1-17 14:47
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发表于 2019-1-17 14:54
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对喔,而且这一点可以另行作辅助线来证:
2019-1-17 14:51
如图,在 `BC` 上取 `G` 使 `BG=x`,记 `\angle BAG=\theta`,则 `\angle CBF=\theta`, `\angle CAE=2\theta`,故
\[\angle AGD=\angle ABC+\theta=\angle BAC+\theta=\angle GAC+2\theta=\angle GAE,\]
所以 `DG=DA`,即 `y=x+r+b=2x+a+b`。
这样一来,2# 的割线定理就可以不用了,圆也可以不画了,就用这个加上梅氏就可以解出一般结果,简洁了不少。
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发表于 2019-1-17 14:57
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哈,我慢了几分钟,过程差不多
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发表于 2019-1-17 15:12
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kuing
因为你多打了一些字,而且还要打码
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