这个不等式,又丑,又松,真是太…………
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当 `x>1` 时,熟知 `e^x>x^2`,所以显然成立;
当 `x<1/2` 时,因为 `t^2+3t+3\geqslant3/4`,所以左边 `>3/4-3x^2>0`;
当 `x\in[1/2,1]` 时,有 `-0.7<-\ln2\leqslant\ln x\leqslant0`,得 `\ln^2x+3\ln x+3>0.7^2-3\times0.7+3=1.39>6/5`,所以只需证 `e^x>2.5x^2`。
令 `g(x)=\sqrt{e^x}-\sqrt{2.5}x`, `x\in[1/2,1]`,则 `g'(x)=\sqrt{e^x}/2-\sqrt{2.5}\leqslant\sqrt e/2-\sqrt{2.5}<0`,所以 `g(x)\geqslant g(1)=\sqrt e-\sqrt{2.5}>0`,所以 `e^x>2.5x^2`。
综上得证。 |