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[函数] $\ln x - mx = 0$的两根问题

$x_1,x_2$是$\ln x-mx=0$的根,且满足$\frac{x_2}{x_1}\leq e^2$,求$x_1x_2$的最大值.
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与这两个题类似?
1141.jpg
2019-1-14 10:33

1142.jpg
2019-1-14 10:33

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试解一下,
$x_1x_2\leq e^2x_1^2$,故要求满足条件的$x_1$的最大值.
方程转化为$\frac{\ln x}{x}=m$,结合图像可知当$x_2=e^2x_1$时,$x_1$最大,此时$\frac{\ln x_1}{x_1}=\frac{\ln x_2}{x_2}=\frac{2+\ln x_1}{e^2x_1}$,可以解得$x_1=e^{\frac{2}{e^2-1}}$,此时$x_1x_2=e^{\frac{2(e^2+1)}{e^2-1}}$.

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