免費論壇 繁體 | 簡體
Sclub交友聊天~加入聊天室當版主
分享
返回列表 发帖

[数列] 三个数列的最值

本帖最后由 Tesla35 于 2019-1-11 00:59 编辑

已知数列$\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}$满足:$a_{n+1}=a_n^2+2b_nc_n,b_{n+1}=b_n^2+2c_na_n,c_{n+1}=c_n^2+2a_nb_n,a_1+b_1+c_1=1$,$a_1,b_1,c_1$是互不相等的正数,$m_n=\min\{a_n,b_n,c_n\},M_n=\max\{a_n,b_n,c_n\}$,($\min\{a,b,c\},\max\{a,b,c\}$分别表示$a,b,c$中的最小数和最大数),则(\qquad)\\
\twoch{数列$\{m_n\}$是递减数列}{数列$\{M_n\}$是递增数列}
{数列$\{M_n-m_n\}$是递减数列}{数列$\{M_n+m_n\}$是递增数列}

看起来还挺有意思的

带了几个数尝试,选C,暂时未想到怎么证明

以下是一些尝试:
三个递推式相加得
$$a_{n+1}+b_{n+1}+c_{n+1}=(a_n+b_n+c_n)^2,$$
由$a_1+b_1+c_1=1$可知$a_n+b_n+c_n=1$对于$n=1,2,3\cdots$均成立.

假设$a_n>b_n>c_n$,易知$a_n>\frac{1}{3},c_n<\frac{1}{3}$.

而$a_{n+1}-b_{n+1}=(a_n-b_n)(a_n+b_n-2c_n)=(a_n-b_n)(1-3c_n)$,因此$a_{n+1}>b_{n+1}$

$c_{n+1}-b_{n+1}=(c_n-b_n)(c_n+b_n-2a_n)=(c_n-b_n)(1-3a_n)$,得$c_{n+1}>b_{n+1}$.
若$a_{n+1}>c_{n+1}$
$M_{n+1}-m_{n+1}=a_{n+1}-b_{n+1}=(a_n-b_n)(1-3c_n)<a_n-b_n<a_n-c_n=M_n-m_n$
若$a_{n+1}\leqslant c_{n+1}$,此时$a_{n+1}-c_{n+1}=(a_n-c_n)(a_n+c_n-2b_n)=(a_n-c_n)(1-3b_n)\leqslant0$,因此$b_n\geqslant\frac{1}{3}$,$a_n\leqslant\frac{2}{3}$.
$M_{n+1}-m_{n+1}=c_{n+1}-b_{n+1}=(b_n-c_n)(3a_n-1)\leqslant b_n-c_n<a_n-c_n=M_n-m_n$
好像搞定了。哈哈哈
分享到: QQ空间QQ空间 腾讯微博腾讯微博 腾讯朋友腾讯朋友

返回列表 回复 发帖