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[几何] 请教:圆与圆锥曲线的交点问题

①椭圆与一个圆有三个交点,则其中必有一个交点,是椭圆与圆的切点
②抛物线,双曲线是否也具有类似的性质?谢谢!
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道运天地宽  丹心照气圆

本帖最后由 游客 于 2019-1-8 13:02 编辑

回复 1# shidilin


    一个圆洞,从一个地方进去,从另一个地方出来,那么就是2个公共点。
不然的话,不是在洞里碰瓷,就是在洞外碰瓷,或者两不相干。

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本帖最后由 hejoseph 于 2019-1-8 16:29 编辑

设 $ab\neq 0$,由 $ax^2+by^2=1$ 与 $(x-u)^2+(y-v)^2=r^2$($v\neq 0$)可得 $y=-((a-b)x^2+2bux-b(u^2+v^2-r^2)-1)/(2bv)$,$u=0$ 或 $v=0$ 时的情形很容易讨论。$ax^2+by^2=1$ 与 $(x-u)^2+(y-v)^2=r^2$ 消去 $y$。当$a\neq b$ 时得到的是一个关于 $x$ 的四次方程,若只有三个不同解,说明必定有一个重根,此时就对应相切的情形。当$a=b$ 时得到的是一个关于 $x$ 的二次方程。
同样,设 $p\neq 0$,由 $x^2=2py$ 得 $y=x^2/(2p)$,$x^2=2py$ 与 $(x-u)^2+(y-v)^2=r^2$ 消去 $y$,得到的是一个关于 $x$ 的四次方程,若只有三个不同解,说明必定有一个重根,此时就对应相切的情形。

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感谢楼上两位的答复!

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