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[几何] 巫克兰解三角形试题

等腰三角形$ABC$中,$AB=AC$,如果$\dfrac{AB}{BC}=1+2cos\dfrac{π}{7}$,求三角形的各内角值。
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不就是 `\angle B=\angle C=\arccos\dfrac1{2+4\cos(\pi/7)}` 么?必须要继续化简?
感觉很难再化得更简了吧,你有没有抄错题??或者给出更具体的来源,哪一年巫(乌)克兰的啥竞赛?
撸你发的题总要特别小心,必须多问一遍

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回复 2# kuing


    是2017年的,关键是需要$B,C$的最简表示结果。

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抄错题目了,应该是$AB/BC=1+2\cos(2\pi/7)$。

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回复 4# hejoseph

这样就能化简了
果然楼主的帖还是少碰为妙

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回复 5# kuing
抄错题现象纠正方法:1、自己写题;2、用心抄题,抄错题类似很多神人经常运算出错,令人苦恼!

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是别人给我的手抄本,我化不出所以请教大神们。现在我才知道不是姓乌的题,是姓波(黑)的题。

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试题来源和几个人的解答:
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2019-1-7 23:09
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2019-1-7 23:09
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2019-1-7 23:09
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2019-1-7 23:09

善用联想简解2017波黑奥林匹克三角形问题
河南省许昌长葛市       丁位卿
题目:等腰三角形ABC中,AB=AC,如果AB/BC=1+2cosπ/7,求三角形ABC的各个内角。
解:设α=π/7,则由已知条件得
AB/BC=AC/BC=1+2cos2π/7=1+2cos2α
=3-4sin²α.
联想到三倍角正弦公式sin3α=3sinα-4sin³α,得sin3α/sinα=3-4sin²α,
则有AB/BC=AC/BC=sin3α/sinα
=(sin3π/7)/(sinπ/7)
=(sin4π/7)/(sinπ/7).
另一方面,由正弦定理得AB/BC=AC/BC=sinC/sinA=sinB/sinA。
比较上述两式,有如下两种情形:
若∠B=∠C=4π/7,因为∠B+∠C=8π/7>π,
与三角形内角和定理矛盾,故排除此种情况;
当∠B=∠C=3π/7,∠A=π/7时,满足∠A+∠B+∠C=π及原题已知条件。
故三角形ABC三个内角的大小为∠A=π/7,∠B=∠C=3π/7。
评注:由3-4sin²α联想到三倍角正弦公式,由此将三角形两边之比化为两个确定角的正弦之比,再用正弦定理化边之比为对应角的正弦之比,最后通过观察比较轻松求出三角形的三个内角,解法简单。简单解法源于联想,联想出奇招!
妙不可言,不明其妙,不着一字,各释其妙!

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显然
\[\cos\frac{0\pi}7+\cos\frac{2\pi}7+\cos\frac{4\pi}7+\cdots+\cos\frac{12\pi}7=0,\]

\[1+2\left( \cos\frac{2\pi}7+\cos\frac{4\pi}7+\cos\frac{6\pi}7 \right)=0,\]
头尾和差化积后
\[1+2\cos\frac{4\pi}7+4\cos\frac{4\pi}7\cos\frac{2\pi}7=0,\]
即得
\[2+4\cos\frac{2\pi}7=\frac1{\cos(3\pi/7)},\]
所以 `B=C=3\pi/7`。
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

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