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[不等式] 积和为定值的不等式

本帖最后由 力工 于 2019-1-4 16:03 编辑

已知非负数$a,b,c$满足$ab+bc+ca=1$,求证:$\dfrac{2}{a^2+1}+\dfrac{2}{b^2+1}+\dfrac{3}{c^2+1}\geqslant 4$.
分子不对称,如何求解?正切代换吗?求大神们指点。
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已知非负数$a,b,c$满足$ab+bc+ca=1$,求证:$\dfrac{2}{a^2+1}+\dfrac{2}{b^+1}+\dfrac{3}{c^2+1}\geqslant 4$.
分子不对称,如何求解?正切代换吗?求大神们指点。
力工 发表于 2019-1-3 21:57

第二个分母是怎么回事?

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如果第二项也是 `\dfrac{2}{b^2+1}` 的话,正切代换应该可以处理啊,你自己试过没有?

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呵呵,我用齐次化的方法试了一下之后发现:
如果第二项也是 `\dfrac{2}{b^2+1}` 的话,那么第三项的分子 3 完全是为了坑人的,因为它完全可以直接放缩为 2,即:
\begin{align*}
&\frac2{a^2+1}+\frac2{b^2+1}+\frac3{c^2+1}\\
\geqslant{}&\frac2{a^2+1}+\frac2{b^2+1}+\frac2{c^2+1}\\
={}&\frac2{(a+b)(a+c)}+\frac2{(b+c)(b+a)}+\frac2{(c+a)(c+b)}\\
={}&\frac{4(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\\
\geqslant{}&4.
\end{align*}

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本帖最后由 力工 于 2019-1-4 16:04 编辑

回复 4# kuing
晕死,把$b^2+1$输成了$b+1$,只输了$^$,2掉了 。感谢k大神!

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本帖最后由 敬畏数学 于 2019-1-6 10:23 编辑

其实此题不难的。把已知的C解出来(消去c),代入要求证明式子,简单分析法就出来了。有时就老想套路,哎。对称是么子意思啊。

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貌似又有一个miss.

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回复 8# 敬畏数学

啥意思……?

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blog8.png
2019-1-8 00:19
blog9.png
2019-1-8 00:19
妙不可言,不明其妙,不着一字,各释其妙!

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陕西李歆老师解答

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回复 10# 其妙

嗯,加上求最大值这个 3 才有存在的价值,否则就太XX了,不过不管怎样,题还是太简单,没玩头……

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